(Chuyên Vinh -2022) Cho hàm số bậc ba (y = f(x)). Biết rằng hàm số (y = fprime left( {1 – {x^2}} right)) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số (g(x) = fleft( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) + frac{2}{x}) là
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 7.
Lời giải:
Ta có
(begin{array}{l}{g^prime }(x) = frac{2}{{{x^3}}} cdot {f^prime }left( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) – frac{2}{{{x^2}}} = frac{2}{{{x^2}}}left[ {frac{1}{x} cdot {f^prime }left( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) – 1} right]\ Rightarrow {g^prime }(x) = 0 Leftrightarrow frac{1}{x} cdot {f^prime }left( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) – 1 = 0 Rightarrow {f^prime }left( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) = x Leftrightarrow {f^prime }left( {1 – frac{1}{{{x^2}}}} right) = xend{array})
Đặt ta được (fprime left( {1 – {t^2}} right) = frac{1}{t}).
Xét hàm số (h(t) = frac{1}{t}(t ne 0) Rightarrow hprime (t) = – frac{1}{{{t^2}}} < 0,forall t ne 0)
Vẽ đồ thị hàm (h(t) = frac{1}{t}) trên cùng hệ trục toạ độ với hàm số (y = fprime left( {1 – {t^2}} right))
Từ đồ thị suy ra (g’left( x right) = 0) có 5 nghiệm đơn.
Vậy hàm số (gleft( x right) = fleft( {frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} right) + frac{2}{x}) có 5 điểm cực trị