Cưc đại và cực tiểu là gì? Cách xác định điểm cực trị của hàm số
Định nghĩa điểm cực đại cực tiểu
Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định và liên tục trên khoảng $left( a;b right)$ (có thể $a$ là $-infty $; $b$ là $+infty $) và điểm ${{x}_{0}}in left( a;b right)$
a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $fleft( x right)0$ sao cho $fleft( x right)>fleft( {{x}_{0}} right)$ với mọi $xin left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và $xne {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số $fleft( x right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}$.
Chú ý về điểm cực trị
– Nếu hàm số $fleft( x right)$đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $fleft( {{x}_{0}} right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là ${{f}_{CD}}left( {{f}_{CT}} right)$, còn điểm $Mleft( {{x}_{0}};fleft( {{x}_{0}} right) right)$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
– Các điểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
– Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm trên khoảng $left( a;b right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ${{x}_{0}}$ thì $f’left( {{x}_{0}} right)=0.$
Định lý 1: Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$liên tục trên khoảng $K=left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h right)$ và có đạo hàm trên $K$ hoặc trên $Kbackslash left{ {{x}_{0}} right},$ với $h>0$.
– Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)>0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}} right)$và $f’left( {{x}_{0}} right)
– Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)0$ trên khoảng $left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h right)$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $fleft( x right).$
Nhận xét: Xét hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục và xác định trên $left( a;b right)$ và ${{x}_{0}}in left( a;b right).$
– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số.
– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số.
– Nếu $f’left( x right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Hàm số $y=sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|$ có đạo hàm là $y’=frac{2x}{2sqrt{{{x}^{2}}}}$ không có đạo hàm tại điểm $x=0$ tuy nhiên $y’$ vẫn đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$.
Định lý 2: Giả sử hàm số 
có đạo hàm cấp hai trong khoảng 
với 
. Khi đó:
– Nếu $left{ begin{matrix} f’left( {{x}_{0}} right)=0 \ f”left( {{x}_{0}} right)>0 \end{matrix} right.Rightarrow {{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu.
– Nếu $left{ begin{matrix} f’left( {{x}_{0}} right)=0 \ f”left( {{x}_{0}} right)
Chú ý: Nếu $f’left( {{x}_{0}} right)=0$ và $f”left( {{x}_{0}} right)=0$ thì chưa thể khẳng định được ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số.
Bài tập: Hàm số $y={{x}^{3}}$ có $left{ begin{matrix} f’left( 0 right)=0 \ f”left( 0 right)=0 \end{matrix} right.$ tuy nhiên hàm số này không đạt cực trị tại điểm $x=0$.
Hàm số $y={{x}^{4}}$ có $left{ begin{matrix} f’left( 0 right)=0 \ f”left( 0 right)=0 \end{matrix} right.$ tuy nhiên hàm số này đạt cực tiểu tại điểm 
.
Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không có chiều ngược lại).