Cách 1.
Điều kiện: \(x>-1\).
Ta có pt: \(x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\Leftrightarrow x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1+m{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( x-m \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1\) (1).
Đặt: \({{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=t\Rightarrow x={{3}^{t}}-1\)
Ta có, Pt (1) \(\Rightarrow \left( {{3}^{t}}-m-1 \right).t=1\Rightarrow f\left( t \right)={{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1=m\), với \(t\ne 0\).
Đặt: \(f\left( t \right)={{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1\), với \(t\ne 0\).
\(\Rightarrow f’\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0\,,\,t\in \left( -\infty \,;\,0 \right),\,\left( 0\,;\,+\infty \right)\).
Suy ra, \(f\left( t \right)={{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1\) là hàm số đồng biến trên \(\left( -\infty \,;\,0 \right)\) và \(\left( 0\,;\,+\infty \right)\).
Ta xét các giới sau:
\(\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1 \right)=-1\), \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1 \right)=+\infty \).
\(\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1 \right)=-\,\infty \), \(\underset{t\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1 \right)=+\,\infty \).
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1\), với \(t\in \left( -\infty \,;\,0 \right),\,\left( 0\,;\,+\infty \right)\).
Ta có, số nghiệm của Pt (1) cũng chính là số nghiệm của đồ thị hàm số (C) \(f\left( t \right)={{3}^{t}}-\frac{1}{t}-1\)
và đồ thị hàm số\(y=m\) (song song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa, vào đồ thị ở hình vẽ trên, để phương trình \(x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\) có ba nghiệm khi \(m\in \left( -\,1;\,+\infty \right)\).
Cách 2.
Điều kiện: \(x>-1\).
Ta có: \(x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\)(1)
Nhận thấy \(x=0\) không là nghiệm phương trình trên.
Pt (1) \(\Leftrightarrow \left( x-m \right){{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=1\Leftrightarrow x-\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}=m\).
Đặt: \(f\left( x \right)=x-\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}\Rightarrow f’\left( x \right)=1+\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 3.{{\left( {{\log }_{3}}\left( x+1 \right) \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\in \left( -1\,;\,+\infty \right)\).
Suy ra \(f\left( x \right)=x-\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}\) là hàm số đồng biến \(\forall x\in \left( -1\,;\,+\infty \right)\).
Ta có BBT của hàm số \(f\left( x \right)=x-\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}\).
Dựa, vào BBT ở hình vẽ trên, để phương trình \(x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]\) có ba nghiệm khi \(m\in \left( -\,1;\,+\infty \right)\).