Đặt \({{z}_{1}}=-1+4i,\,\,{{z}_{2}}=9\).
Gọi \(M,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z,\,\,{{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\).
Khi đó \(M\left( a;b \right),\,\,B\left( -1;4 \right)\) và \(C\left( 9;0 \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) thì \(H\left( 4;2 \right)\).
Ta có \(\left| z-2+3i \right|=4\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=16\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 2;-3 \right)\), bán kính \(R=4\).
Dễ thấy \(IB>R,\,\,IC>R\) nên hai điểm \(B,\,\,C\) đều nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
Do \(\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( 10;-4 \right)\) nên \(\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{BC}=0\)
Suy ra \(I\) thuộc trung trực \(BC\).
Do đó, nếu \(IH\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) sao cho \(I\) nằm giữa \(M\) và \(H\) thì \(MB+MC\) lớn nhất.
Vì với mọi điểm \(N\) khác \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) thì
\(NB+NC\le \sqrt{2\left( N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2N{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\).
Chú ý rằng \(MB+MC=2\sqrt{M{{H}^{2}}+{{\left( \frac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}>\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\)
nên \(MB+MC>NB+NC\).
.PNG)
Vậy điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IM}=-\frac{R}{IH}.\overrightarrow{IH}\) (1)
trong đó \(\overrightarrow{IM}=\left( a-2;b+3 \right),\,\,\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,R=4,\,\,IH=\sqrt{29}\).
Do đó (1) tương với
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a – 2 = \frac{{ – 4}}{{\sqrt {29} }}.2\\
b + 3 = \frac{{ – 4}}{{\sqrt {29} }}.5
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5a = 10 – \frac{{40}}{{\sqrt {29} }}\\
2b = – 6 – \frac{{40}}{{\sqrt {29} }}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 5a – 2b = 16
\end{array}\)
Vậy \(5a-2b=16\).