Giá trị lớn nhất của biểu thức (P = {sin ^6}alpha + {cos ^6}alpha + msin 2alpha ), (left| m right|

(begin{array}{l}P = {sin ^6}alpha  + {cos ^6}alpha  + msin 2alpha \ Leftrightarrow P = left( {{{sin }^2}alpha  + c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha } right)left( {{{sin }^4}alpha  – {{sin }^2}alpha .c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha  + c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha } right) + msin 2alpha \ Leftrightarrow P = {sin ^4}alpha  – {sin ^2}alpha .c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha  + c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha  + msin 2alpha \ Leftrightarrow P = {left( {{{sin }^2}alpha  + c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha } right)^2} – 3{sin ^2}alpha .c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha  + msin 2alpha \ Leftrightarrow P = 1 – dfrac{3}{4}{sin ^2}2alpha  + msin 2alpha \ Leftrightarrow P =  – dfrac{3}{4}{sin ^2}2alpha  + msin 2alpha  + 1\ Leftrightarrow  – dfrac{3}{4}{sin ^2}2alpha  + msin 2alpha  + 1 – P = 0,,left( 1 right)end{array})

Phương trình (left( 1 right)) có nghiệm khi và chỉ khi :

 (begin{array}{l}Delta  ge 0\ Leftrightarrow {m^2} – 4.left( { – dfrac{3}{4}} right).left( {1 – P} right) ge 0\ Leftrightarrow {m^2} + 3 – 3P ge 0\ Leftrightarrow P le dfrac{{{m^2} + 3}}{3}end{array})

Chọn C.