Giá trị lớn nhất của hàm số (fleft( x right) = left( {2x + 4} right)sqrt {4 – {x^2}} + {x^2}left( {4 – {x^2}} right) + 4x + 2007) thuộc khoảng nào dưới đây?
Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số (fleft( x right) = left( {2x + 4} right)sqrt {4 – {x^2}} + {x^2}left( {4 – {x^2}} right) + 4x + 2007) thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (left( {2019;2024} right)).
B. (left( {2024;2028} right)).
C. (left( {2028;2032} right)).
D. (left( {2015;2019} right)).
Lời giải
Chọn B
TXĐ: (D = left[ { – 2;2} right]).
Ta có (fleft( x right) = {x^2}left( {4 – {x^2}} right) + 2xsqrt {4 – {x^2}} + 4left( {x + sqrt {4 – {x^2}} } right) + 2007).
Đặt (t = x + sqrt {4 – {x^2}} ).
Khi đó: (t’ = 1 – frac{x}{{sqrt {4 – {x^2}} }}); (t’ = 0) ( Leftrightarrow sqrt {4 – {x^2}} = x) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ge 0\4 – {x^2} = {x^2}end{array} right.) ( Leftrightarrow x = sqrt 2 ).
Ta có (tleft( { – 2} right) = – 2), (tleft( {sqrt 2 } right) = 2sqrt 2 ), (tleft( 2 right) = 2). Do đó (t in left[ { – 2;2sqrt 2 } right]).
Mặt khác, ({t^2} = 4 + 2xsqrt {4 – {x^2}} ) ( Rightarrow xsqrt {4 – {x^2}} = frac{{{t^2} – 4}}{2}) và ({x^2}left( {4 – {x^2}} right) = {left( {frac{{{t^2} – 4}}{2}} right)^2}).
Bài toán chuyển thành:
“ Tìm GTLN của hàm số (gleft( t right) = {left( {frac{{{t^2} – 4}}{2}} right)^2} + {t^2} – 4 + 4t + 2007) trên đoạn (left[ { – 2;2sqrt 2 } right]).’’
Ta có (g’left( t right) = 2left( {frac{{{t^2} – 4}}{2}} right).t + 2t + 4)( = {t^3} – 2t + 4); (g’left( t right) = 0)( Leftrightarrow {t^3} – 2t + 4 = 0)( Leftrightarrow t = – 2).
Mặt khác, (gleft( { – 2} right) = 1999) và (gleft( {2sqrt 2 } right) = 2015 + 8sqrt 2 ).
Do đó, giá trị lớn nhất của (fleft( x right)) bằng (left( {2015 + 8sqrt 2 } right))( in left( {2024;2028} right)) đạt tại (x = sqrt 2 ).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số