Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = sqrt {1 + sin x} + sqrt {1 + cos x} )là.
Câu hỏi:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = sqrt {1 + sin x} + sqrt {1 + cos x} )là.
A. ({y_{min }} = 4 + sqrt 2 ).
B. ({y_{min }} = 4 – sqrt 2 ).
C. ({y_{min }} = sqrt 2 ).
D. ({y_{min }} = 1).
Lời giải
Chọn D
Tập xác định (D = mathbb{R}).
Nhận xét: (1 + sin x ge 0,1 + cos x ge 0,y > 0).
Do đó ({y^2} = sin x + cos x + 2 + 2sqrt {sin x + cos x + sin x.cos x + 1} ).
Đặt (t = sin x + cos x = sqrt 2 sin left( {x + frac{pi }{4}} right), – sqrt 2 le t le sqrt 2 ).
( Rightarrow sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}).
Khi đó bài toán quy vê tìm GTNN ({y_{min }}) của hàm số:
(fleft( t right) = {y^2} = t + 2 + 2sqrt {frac{1}{2}left( {{t^2} + 2t + 1} right)} = t + 2 + sqrt 2 left| {t + 1} right|)
( = left{ begin{array}{l}left( {1 – sqrt 2 } right)t + 2 – sqrt 2 ,;khi – sqrt 2 le t le – 1\left( {1 + sqrt 2 } right)t + 2 + sqrt 2 ,;khi – 1 le t le sqrt 2 end{array} right.).
(f’left( t right) = left{ begin{array}{l}left( {1 – sqrt 2 } right) < 0,;khi – sqrt 2 < t < – 1\left( {1 + sqrt 2 } right) > 0,;khi – 1 < t < sqrt 2 end{array} right.).
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số