Giải bài tập Bài 1: Mệnh đề toán học (Cánh diều)
==============
Giải bài 1 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.
b) Mọi số tự nhiên đều là dương.
c) Có sự sống ngoài Trái Đất
d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Mệnh đề toán học là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.
Hướng dẫn giải
a) Phát biểu “Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm” là một mệnh đề toán học.
b) Phát biểu “Mọi số tự nhiên đều là dương” là một mệnh đề toán học.
c) Phát biểu “Có sự sống ngoài Trái Đất” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).
d) Phát biểu “Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).
==============
Giải bài 2 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
a) A: “(frac{5}{{1,2}}) là một phân số”.
b) B: “Phương trình ({x^2} + 3x + 2 = 0) có nghiệm”.
c) C: “({2^2} + {2^3} = {2^{2 + 3}})”.
d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “Không phải P”. Kí hiệu: (overline P )
+) Bằng cách: thêm (hoặc bớt) chữ “không”/ “không phải” (hoặc thay đổi vị ngữ) trong mệnh đề P.
Hướng dẫn giải
a) Phủ định của mệnh đề A: “ (frac{5}{{12}}) là một phân số” là mệnh đề (overline A): “ (frac{5}{{12}}) không phải là một phân số”, mệnh đề phủ định này sai do A đúng.
b) Phủ định của mệnh đề B: “Phương trình x2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm” là mệnh đề (overline B): “Phương trình x2 + 3x + 2 = 0 vô nghiệm”.
Ta có x2 + 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai có ∆ = 32 – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 nên phương trình có nghiệm, vậy mệnh đề B đúng nên mệnh đề (overline B) sai.
c) Phủ định của mệnh đề C: “22 + 23 = 22 + 3” là mệnh đề (overline C): “22 + 23 ≠ 22 + 3”.
Ta có: 22 + 23 = 4 + 8 = 12
22 + 3 = 25 = 32
Do đó 22 + 23 ≠ 22 + 3
Vậy mệnh đề C sai và mệnh đề (overline C) đúng.
d) Phủ định của mệnh đề D: “Số 2 025 chia hết cho 15” là mệnh đề (overline D): “Số 2 025 không chia hết cho 15”.
Ta có: 2 025 : 15 = 135 nên 2 025 chia hết cho 15.
Vậy mệnh đề D đúng nên mệnh đề phủ định (overline D) sai.
============
Giải bài 3 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Cho n là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:
P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.
Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.
a) Phát biểu mệnh đề (P Rightarrow Q). Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề (P Rightarrow Q). Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Mệnh đề kéo theo (P Rightarrow Q) được phát biểu là: “Nếu P thì Q”.
Mệnh đề đảo của mệnh đề (P Rightarrow Q) là mệnh đề (Q Rightarrow P), phát biểu là: “Nếu Q thì P”.
Hướng dẫn giải
a) Phát biểu mệnh đề (P Rightarrow Q): “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”
Mệnh đề này đúng, vì n chia hết cho 16 thì n = 16.k ((k in mathbb{N})) thì n = 8.(2k) chia hết cho 8.
b) Phát biểu mệnh đề (Q Rightarrow P): “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”
Mệnh đề này sai, chẳng hạn n = 8 là số tự nhiên chia hết cho 8 nhưng n không chia hết cho 16.
Chú ý
Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề (P Rightarrow Q) là: “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” …
=============
Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC cân”.
Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.
Phát biểu mệnh đề (P Leftrightarrow Q) bằng bốn cách.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
4 dạng phát biểu của mệnh đề tương đương (P Leftrightarrow Q) là:
“P tương đương Q”
“P là điều kiện cần và đủ để có Q”
“P khi và chỉ khi Q”
“P nếu và chỉ nếu Q”
Hướng dẫn giải
4 cách phát biểu mệnh đề (P Leftrightarrow Q):
“Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”
“Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”
“Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”
“Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”
================
Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Dùng kí hiệu “(forall )” hoặc “(exists )” để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.
b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
a) Viết mệnh đề về dạng “(exists x in X,;P(x))”.
b) Viết mệnh đề về dạng “(forall x in X,;P(x))”.
Hướng dẫn giải
a) Mệnh đề đã cho được viết là: “ ∈ Z, x không chia hết cho x”.
b) Mệnh đề đã cho được viết là: “ ∈ R, x + 0 = x”.
=============
Giải bài 6 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Phát biểu các mệnh đề sau:
a) (forall x in mathbb{R},;{x^2} ge 0)
b) (exists x in mathbb{R},;dfrac{1}{x} > ;x.)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
– Phủ định của mệnh đề (forall x in X,P(x)) là mệnh đề (exists x in X,overline {P(x)} )
– Phủ định của mệnh đề (exists x in X,P(x)) là mệnh đề (forall x in X,overline {P(x)} )
Hướng dẫn giải
a) Mệnh đề “(forall x in R,{x^2} ge 0)” được phát biểu như sau: “Mọi số thực đều có bình phương không âm”.
b) Mệnh đề “(exists x in R,frac{1}{x} > x)” được phát biểu là: “Tồn tại số thực sao cho nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.
============
Giải bài 7 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
a) (forall x in mathbb{R},;{x^2} ne 2x – 2)
b) (forall x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)
c) (exists x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} ge 2)
d) (exists x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 < 0)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
+) Phủ định của mệnh đề “(forall x in X,;P(x))” là mệnh đề “(exists x in X,;overline {P(x)} )”
+) Phủ định của mệnh đề “(exists x in X,;P(x))” là mệnh đề “(forall x in X,;overline {P(x)} )”.
Hướng dẫn giải
a) Phủ định của mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} ne 2x – 2)” là mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} = 2x – 2)”
Mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} = 2x – 2)” sai vì ({x^2} ne 2x – 2)với mọi số thực x ( vì ({x^2} – 2x + 2 = {(x – 1)^2} + 1 > 0) hay ({x^2} > 2x – 2)).
b) Phủ định của mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)” là mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)”
Mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} le 2x – 1)” đúng vì có (x = 1 in mathbb{R}:{1^2} le 2.1 – 1) hay (1 le 1) (luôn đúng).
c) Phủ định của mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} ge 2)” là mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} < 2)”.
Mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;x + frac{1}{x} < 2)” sai vì (x = 2 in mathbb{R}) nhưng (x + frac{1}{x} = 2 + frac{1}{2} > 2).
d) Phủ định của mệnh đề “(exists x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 < 0)” là mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 ge 0)”.
Mệnh đề “(forall x in mathbb{R},;{x^2} – x + 1 ge 0)” đúng vì ({x^2} – x + 1 = {left( {x – frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} ge 0) với mọi số thực x.