1. Bài tập tự luận
1.1. Giải bài 1 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số (y=tanleft ( x+frac{pi }{5} right )) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Phương pháp giải
– Hàm số (y = f(x)) là hàm số chẵn nếu thỏa cả 2 điều kiện sau:
- Gọi D là tập xác định thì: (forall x in D) thì ( – x in D.)
- (forall x in D) thì (f( – x) = f(x).)
– Hàm số (y = f(x)) là hàm số lẻ nếu thỏa cả 2 điều kiện sau:
- Gọi D là tập xác định thì: (forall x in D) thì ( – x in D.)
- (forall x in D) thì (f( – x) = – f(x).)
Hướng dẫn giải
Câu a
Hàm số y = cos3x là hàm số chẵn. Thật vậy:
Tập xác định của hàm số: D = R.
+ (forall xin mathbb{R}Rightarrow -xin mathbb{R})
+ (forall xin mathbb{R}Rightarrow y(-x) =cos(-3x)=cos3x=y(x))
⇒ hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.
Câu b
Hàm số (y=tanleft ( x+frac{pi }{5} right )) không phải là hàm số lẻ. Thật vậy:
Với (x=frac{pi }{5}Rightarrow f(-x)=tan left ( -frac{pi }{5}+frac{pi }{5} right ))
(= tan 0=0neq -f(x)=-tanfrac{2pi }{5})
⇒ Hàm số (y=tanleft ( x+frac{pi }{5} right )) không phải là hàm số lẻ.
1.2. Giải bài 2 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x trên đoạn (left [ -frac{3pi }{2};2pi right ]) để hàm số đó:
a) Nhận giá trị bằng -1
b) Nhận giá trị âm
Phương pháp giải
Vẽ đồ thị hàm số (y=sinx) và dựa vào đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, trên đoạn (left [ -frac{3pi }{2};2pi right ]), ta có:
Câu a
sinx = -1 khi (x=-frac{pi }{2};x=frac{3pi }{2}.)
Câu b
sin x
1.3. Giải bài 3 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số
a) (y=sqrt{2(1+cosx)}+1)
b) (y=3sin(x-frac{pi }{6})-2)
Phương pháp giải
Dựa vào tính chất: ( – 1 le sin x le 1;,, – 1 le cos x le 1)
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: (-1leq cosxleq 1 forall xin mathbb{R})
(Rightarrow 2(1+cosx)leq 2(1+1)=4Rightarrow sqrt{2(1+cosx)}+1leq 3)
Dấu “=” xảy ra (Leftrightarrow cosx=1Leftrightarrow x=k2 pi.)
Vậy Max y = 3 khi (x=k2 pi)
Câu b
Ta có (sinleft ( x-frac{pi }{6} right )leq 1Rightarrow 3sin left ( x- frac{pi }{6} right )-2leq 3.1-2=1)
Dấu “=” xảy ra (Leftrightarrow sin left ( x-frac{pi }{6} right )=1Leftrightarrow x=frac{2 pi }{3}+k2 pi.)
Vậy Max y = 1 khi (x=frac{2 pi}{3}+k2 pi.)
1.4. Giải bài 4 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (sin(x+1)=frac{2}{3})
b) (sin^22x=frac{1}{2})
c) (cot^2 frac{x}{2}=frac{1}{3})
d) (tan left ( frac{x}{12} +12x right )=-sqrt{3})
Phương pháp giải
Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin, cos, tan cot
Sử dụng công thức hạ bậc
Hướng dẫn giải
Câu a
(sin(x+1)=frac{2}{3})
(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x+1 = arcsin frac{2}{3}+k2 pi \ \ x+1= pi -arcsin frac{2}{3}+k2 pi end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x =-1+ arcsin frac{2}{3}+k2 pi \ \ x= -1+pi -arcsin frac{2}{3}+k2 pi end{matrix})
Câu b
(sin^22x=frac{1}{2}Leftrightarrow sin2x=pm frac{1}{sqrt{2}})
* (sin2x= frac{1}{sqrt{2}} Leftrightarrow sin2x=sinfrac{pi }{4}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} 2x=frac{pi }{4}+k2pi \ \ 2x=frac{3pi }{4}+k2pi end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=frac{pi }{8}+kpi \ \ x=frac{3pi }{8}+kpi end{matrix})
* (sin2x=- frac{1}{sqrt{2}} Leftrightarrow sin2x=sin left ( -frac{pi }{4} right )Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} 2x=-frac{pi }{4}+k2pi \ \ 2x=frac{5pi }{4}+k2pi end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=-frac{pi }{8}+kpi \ \ x=frac{5pi }{8}+kpi end{matrix})
Câu c
(cot^2frac{x}{2}=frac{1}{3}Leftrightarrow cot frac{x}{2}=pm frac{sqrt{3}}{3}.)
* (cot frac{x}{2}= frac{sqrt{3}}{3}Leftrightarrow cotfrac{x}{2}=cotfrac{pi}{3}Leftrightarrow x=frac{2pi }{3}+k2pi.)
* (cot frac{x}{2}= -frac{sqrt{3}}{3}Leftrightarrow cotfrac{x}{2}=cotfrac{2pi}{3}Leftrightarrow x=frac{4pi }{3}+k2pi.)
Câu d
(tan left ( frac{pi }{12} +12xright )=-sqrt{3})
(tan left (12x +frac{pi }{12}right )=tanfrac{2 pi}{3}Leftrightarrow 12x +frac{pi }{12}= frac{2 pi}{3}+k pi)
(Leftrightarrow x=frac{7 pi}{144}+frac{k pi}{12}.)
1.5. Giải bài 5 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau
a) (2cos^2x – 3cosx + 1 = 0)
b) (25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25)
c) (2sinx + cosx = 1)
d) (sin x + 1,5cot x = 0)
Phương pháp giải
a) Đặt (t = cos x), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
b) Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
c) Phương trình dạng (asin x + bcos x = c), chia cả 2 vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} )
d) Biến đổi, quy đồng, đưa phương trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải
Câu a
(2cos^2x -3cosx + 1 = 0)
Đặt (t=cosx,- 1 le t le 1 Rightarrow 2t^2-3t+1=0Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} t=1\ t=frac{1}{2} end{matrix}) (Thỏa điều kiện)
* Với (t=1 Rightarrow cosx=1Leftrightarrow x=k 2pi)
* Với (t=frac{1}{2} Rightarrow cosx=frac{1}{2}Leftrightarrow x= pm frac{pi }{3}+k 2pi)
Câu b
(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25) (2)
Nhận thấy (cosx =0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+ k pi) là nghiệm của phương trình vì (25sin^2x=25Leftrightarrow sin^2x =1) luôn đúng.
Với (cosxneq 0). Khi đó:
((2)Leftrightarrow 25tan^2x + 30 tan x + 9 =25(1+tan^2 x))
(Leftrightarrow 30tanx=16)
(Leftrightarrow tanx=frac{8}{15}Leftrightarrow x=arctan frac{8}{15} +k pi)
Vậy phương trình có nghiệm (x=frac{pi }{2}+ k pi; x=arctan frac{8}{15} +k pi)
Câu c
(2sinx+cosx=1Leftrightarrow frac{2}{sqrt{5}}sinx+frac{1}{sqrt{5}}cosx=frac{1}{sqrt{5}})
Đặt (cosalpha = frac{2}{sqrt{5}}; sinx =frac{1}{sqrt{5}}.)
Suy ra (sin(x+alpha )=frac{1}{sqrt{5}}Leftrightarrow sin(x+alpha )= sinalpha Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} x=k 2pi \ x= pi-2alpha +k2pi end{matrix})
Câu d
(sinx+1,5cotx =0)
(Leftrightarrow sin^2x +frac{3}{2}cosx=0Leftrightarrow 1-cos^2x+ frac{3}{2}cosx =0)
(Leftrightarrow 2cos^2x-3cosx-2=0)
Đặt (t=cosx,- 1 le t le 1 Rightarrow 2t^2-3t-2=0Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} t=2 (loai) \ t=-frac{1}{2} end{matrix})
Với (t=-frac{1}{2} Rightarrow cosx=-frac{1}{2}Leftrightarrow cosx=cosfrac{2pi }{3}Leftrightarrow x=pm frac{3pi }{3}+ k2pi)
2. Bài tập trắc nghiệm
2.1. Giải bài 6 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Phương trình (cos x = sin x) có số nghiệm thuộc đoạn ([-π, π]) là
(A). (2) (B). (4)
(C). (5) (D). (6)
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng phương trình cơ bản của hàm tan.
Hướng dẫn giải
Ta có (cosx=sinxLeftrightarrow sin left ( x-frac{pi }{4} right )=0 Leftrightarrow x-frac{pi }{4}=k piLeftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi.) mà (xin [-pi;pi]Rightarrow -pi leq frac{pi }{4}+kpileq piLeftrightarrow -frac{5}{4}leq kleq frac{3}{4}) mà (kin mathbb{Z})
(Rightarrow k=0;k=-1)
⇒ trên [(-pi;pi)] phương trình có hai nghiệm.
Vậy A là đáp án cần tìm.
2.2. Giải bài 7 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Phương trình ({{cos 4x} over {cos 2x}} = tan 2x) có số nghiệm thuộc khoảng (left( {0;frac{pi }{2}} right)) là:
A. (2) B. ( 3)
C. (4) D. (5)
Phương pháp giải
+) Sử dụng công thức (tan 2x = frac{{sin 2x}}{{cos 2x}}), quy đồng, bỏ mẫu.
+) Sử dụng công thức nhân đôi: (cos 4x = 1 – 2{sin ^2}2x)
+) Giải phương trình bậc hai của (sin 2x).
+) Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin.
Hướng dẫn giải
(frac{cos4x}{cos2x}=tan2xLeftrightarrow cos4x=sin2xLeftrightarrow cos4x=cosleft ( frac{pi }{2} -2xright ))
(Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} 4x=frac{pi }{2} – 2x +k2pi\ \ 4x=2x-frac{pi }{2} + l2pi end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=frac{pi }{12}+frac{kpi}{3}\ \ x=-frac{pi }{4} + lpi end{matrix})
mà (x in left( {0;frac{pi }{2}} right) Rightarrow left[ begin{array}{l}0
mà (k,lin mathbb{Z}Rightarrow k=0, l=1.)
Phương trình có hai nghiệm thuộc (left ( 0;frac{pi}{2} right ))
Vậy (A) là đáp án cần tìm.
2.3. Giải bài 8 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (sin x + sin 2x = cos x + 2 cos^2 x) là:
A. ({pi over 6}) B. ({{2pi } over 3})
C. ({pi over 4}) D. ({pi over 3})
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi (sin 2x = 2sin xcos x).
Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.
Hướng dẫn giải
(sinx+sin2x=cosx+2cos^2x)
(Leftrightarrow (1+2cosx).sinx=cosx(1+2cosx))
(Leftrightarrow (2cosx+1).(sinx-cosx)=0)
(Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} 2cosx +1=0\ sinx-cosx=0 end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} cosx=-frac{1}{2}\ \ sinleft ( x-frac{pi }{4} right )=0 end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=pm frac{2pi }{3} +k2 pi\ \ x=frac{pi }{4}+k pi end{matrix})
mà x dương nhỏ nhất suy ra: (x=frac{pi }{4}.)
Vậy (C) là đáp án cần tìm.
2.4. Giải bài 9 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình (2{tan ^2}x + 5tan x + 3 = 0) là:
A. ({{ – pi } over 3}) B. ({{ – pi } over 4})
C. ({{ – pi } over 6}) D. ({{ – 5pi } over 6})
Phương pháp giải
Giải phương trình bậc hai của hàm tan. Sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản và biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Hướng dẫn giải
Ta có (2tan^2x+5tanx+3=0Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} tanx=-1\ tanx=-frac{3}{4} end{matrix}Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} x=-frac{pi }{4} + k pi\ \ x=arctan left ( -frac{3}{2} right )+k pi end{matrix})
Mà x là âm lớn nhất (Rightarrow x=-frac{pi }{4})
((arctan left( { – frac{3}{2}} right) approx – {56^0}19’))
Vậy (B) là đáp án cần tìm.
2.5. Giải bài 10 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Phương trình (2tan x – 2 cot x – 3 = 0) có số nghiệm thuộc khoảng (({{ – pi } over 2},pi )) là:
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai của tanx, sử dụng công thức (cot x = frac{1}{{tan x}}).
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: (2tan x-2cotx-3=0)
Điều kiện: (tan x.cot x ne 0)
Khi đó nhân 2 vế cho (tan x) ta có:
(2tan x-2cotx-3=0) (Leftrightarrow 2tan^2x-3tanx-2=0)
(Leftrightarrow bigg lbrack begin{matrix} tanx=2\ tanx=-frac{1}{2} end{matrix}Leftrightarrow Bigg lbrack begin{matrix} x=arctan 2 + k pi\ x = arctan left ( -frac{1}{2} right )+kpi end{matrix})
mà (xin left ( -frac{pi }{2}; pi right )Rightarrow) trên (left ( -frac{pi }{2}; pi right )) phương trình có 3 nghiệm.
Vậy (C) là đáp án cần tìm.