Giải phương trình mũ – Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá
Để giải các bài toán bằng các phương pháp này ta cần ghi nhớ một số kiến thức sau:
Kiến thức về hàm số: Hàm số $fleft( t right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $D$ (trong đó $D$ là một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng) thì $u;vin D;,,fleft( u right)=fleft( v right)Leftrightarrow u=v$
Bất đẳng thức AM-GM: Cho các số thực không âm ${{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}$ thì ta có:
${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}ge nsqrt[n]{{{a}_{1}}.{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=…={{a}_{n}}$
Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2 bộ số thực ${{a}_{1}};{{a}_{2}};…;{{a}_{n}}$ và ${{b}_{1}};{{b}_{2}};…;{{b}_{n}}$ ta có:
$left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2} right)left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2} right)ge {{left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}} right)}^{n}}$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$
Bất đẳng thức trị tuyệt đối: $left| a right|+left| b right|ge left| a+b right|$, dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow ab>0$
Một số bài tập trắc nghiệm giải phương trình mũ bằng cách phương pháp có đáp án chỉ tiết
|
Bài tập 1: Giải các phương trình sau (phương pháp hàm số) a) ${{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{9}^{3-2x}}+{{x}^{2}}+6={{4}^{2x-3}}+{{3}^{x-{{x}^{2}}}}+5x$ b) ${{2}^{{{2}^{x}}}}+{{3}^{{{2}^{x}}}}={{2}^{x}}+{{3}^{x+1}}+x+1$ |
Lời giải chi tiết
a) $PTLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{3}^{x-{{x}^{2}}}}+{{x}^{2}}+6={{2}^{4x-6}}+{{3}^{6-4x}}+5xLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{3}^{x-{{x}^{2}}}}+{{x}^{2}}-x={{2}^{4x-6}}+{{3}^{6-4x}}+4x-6$
Đặt $u={{x}^{2}}-x,,v=4x-6$ ta có: ${{2}^{u}}-{{3}^{-u}}+u={{2}^{v}}-{{3}^{-v}}+v$ (1)
Xét hàm số: $fleft( t right)={{2}^{t}}-{{3}^{-t}}+t,,left( forall t right)$ ta có: ${f}’left( t right)={{2}^{t}}ln 2+{{3}^{-t}}ln 3+1>0,,left( forall tin mathbb{R} right)$
Do đó (1) $fleft( u right)=fleft( v right)Leftrightarrow u=vRightarrow {{x}^{2}}-x=4x-6Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=6 \ end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=1,x=6$.
b) Ta có: $PTLeftrightarrow {{2}^{{{2}^{x}}}}+{{3}^{{{2}^{x}}}}+{{2}^{x}}={{2}^{x+1}}+{{3}^{x+1}}+x+1$
Xét hàm số: $fleft( t right)={{2}^{t}}+{{3}^{t}}+t,,left( forall tin mathbb{R} right)$ ta có: ${f}’left( t right)={{2}^{t}}ln 2+{{3}^{t}}ln 3+1>0,,left( forall tin mathbb{R} right)$
Khi đó: $fleft( {{2}^{x}} right)=fleft( x+1 right)Leftrightarrow {{2}^{x}}=x+1Leftrightarrow gleft( x right)={{2}^{x}}-x-1=0$
Ta có: ${g}’left( x right)={{2}^{x}}ln 2-1,,,{{g}’}’left( x right)={{2}^{x}}{{ln }^{2}}x>0,,left( forall xin mathbb{R} right)$
Do ${{g}’}’left( x right)>0$ nên phương trình có tối đa 2 nghiệm, mặt khác ta thấy $gleft( 0 right)=gleft( 1 right)=0$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=0,x=1$.
|
Bài tập 2: Giải các phương trình sau (phương pháp phân tích nhân tử). a) ${{2}^{{{x}^{2}}+x}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x+2}}-{{4}^{x}}+4=0$ b) ${{4}^{{{x}^{2}}+x}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2}^{{{left( x+1 right)}^{2}}}}+1$ |
Lời giải chi tiết
a) $PTLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+x}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x+2}}-{{2}^{2x}}+{{2}^{2}}=0Leftrightarrow {{2}^{2x}}left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 right)-{{2}^{2}}left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 right)=0$
$Leftrightarrow left( {{2}^{2x}}-4 right)left( {{2}^{{{x}^{2}}-x}}-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{2}^{2x}}=4 \ {} {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=1,x=0 \ end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=0,x=1$.
b) Đặt $u=2{{x}^{2}}+2x,,v=1-{{x}^{2}}Rightarrow PTLeftrightarrow {{2}^{u}}+{{2}^{v}}={{2}^{u+v}}+1Leftrightarrow left( {{2}^{u}}-1 right)left( {{2}^{v}}-1 right)=0$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{2}^{u}}=1 \ {} {{2}^{v}}=1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} u=0 \ {} v=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} 2{{x}^{2}}+2x=0 \ {} 1-{{x}^{2}}=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=pm 1 \ end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=0,x=pm 1$.
|
Bài tập 3: Giải các phương trình sau (phương pháp đánh giá): a) $left| {{4}^{x}}-1 right|+left| {{4}^{x}}-4 right|=-{{x}^{2}}+x+frac{11}{4}$ b) $2co{{s}^{2}}left( frac{{{x}^{3}}-x}{2} right)={{3}^{x}}+{{3}^{-x}}$ |
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng BĐT: $left| a right|+left| b right|ge left| a+b right|$ (dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow ab>0$)
Ta có: $VP=left| {{4}^{x}}-1 right|+left| {{4}^{x}}-4 right|=left| {{4}^{x}}-1 right|+left| 4-{{4}^{x}} right|ge left| {{4}^{x}}-1+4-{{4}^{x}} right|=3$
Dấu đẳng thức xảy ra $Leftrightarrow left( {{4}^{x}}-1 right)left( 4-{{4}^{x}} right)ge 0$
Mặt khác ta có: $-{{x}^{2}}+x+frac{11}{4}=3-{{left( x-frac{1}{2} right)}^{2}}le 3le text{VT}Rightarrow text{VT=VP}Leftrightarrow x=frac{1}{2}$
Vậy $x=frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $VP={{3}^{x}}+frac{1}{{{3}^{x}}}ge 2sqrt{{{3}^{x}}.frac{1}{{{3}^{x}}}}=2ge 2co{{s}^{2}}left( frac{{{x}^{3}}-x}{2} right)=VT$
Dấu đẳng thức xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{3}^{x}}=frac{1}{{{3}^{x}}} \ {} co{{s}^{2}}left( frac{{{x}^{3}}-x}{2} right)=1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} co{{s}^{2}}left( frac{{{x}^{3}}-x}{2} right)=1 \ end{array} right.Leftrightarrow x=0$
Vậy $x=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
|
Bài tập 4: Giải các phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn) a) ${{9}^{{{x}^{2}}}}+left( {{x}^{2}}-3 right){{.3}^{{{x}^{2}}}}-2{{x}^{2}}+2=0$ b) $2{{x}^{2}}-3left( 1-{{4.3}^{x}} right)x-{{6.3}^{x}}+1=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}>0$ ta có: ${{t}^{2}}+left( {{x}^{2}}-3 right)t-2{{x}^{2}}+2=0$
Khi đó: $Delta ={{left( {{x}^{2}}-3 right)}^{2}}-4left( -2{{x}^{2}}+2 right)={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1={{left( {{x}^{2}}+1 right)}^{2}}$
Do đó: $left[ begin{array} {} t=frac{3-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+1}{2}=2 \ {} t=frac{3-{{x}^{2}}-left( {{x}^{2}}+1 right)}{2}=1-{{x}^{2}} \ end{array} right.$
Với $t=2Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=2Leftrightarrow x=pm sqrt{{{log }_{3}}2}$
Với $t=1Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=1-{{x}^{2}}$. Ta có: $VT={{3}^{{{x}^{2}}}}ge {{3}^{0}}=1ge VP$ nên $VT=VPLeftrightarrow x=0$
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=0,x=pm sqrt{{{log }_{3}}2}$
b) $PTLeftrightarrow 2{{x}^{2}}-3left( 1-{{4.3}^{x}} right)x-{{6.3}^{x}}+1=0$
Khi đó: $Delta =9left( 1-{{8.3}^{x}}+{{16.9}^{x}} right)-8left( -{{6.3}^{x}}+1 right)={{144.9}^{x}}-{{24.3}^{x}}+1={{left( {{12.3}^{x}}-1 right)}^{2}}$
Do vậy $left{ begin{array} {} x=frac{3-{{2.3}^{x}}+{{12.3}^{x}}-1}{4}=frac{1}{2} \ {} x=frac{3-{{12.3}^{x}}-{{12.3}^{x}}+1}{4}=1-{{6.3}^{x}},,left( 2 right) \ end{array} right.$
(2) $Leftrightarrow gleft( x right)=x+{{6.3}^{x}}-1=0,,$ (3)
Ta có: ${g}’left( x right)=1+{{6.3}^{x}}ln 3>0$ $left( forall xin mathbb{R} right)$
Do dó hàm số $gleft( x right)$ đồng biến trên $mathbb{R}$ ta có: (3) $gleft( x right)=gleft( -1 right)Leftrightarrow x=-1$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=frac{1}{2},,x=-1$
|
Bài tập 5: Số nghiệm của phương trình ${{7}^{x}}=6x+1$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Xét hàm số $fleft( x right)={{7}^{x}}-6x-1$ trên tập $mathbb{R}$ ta có: ${f}’left( x right)={{7}^{x}}ln 7-6=0Leftrightarrow x={{log }_{7}}frac{6}{ln 7}={{x}_{0}}$
Lại có: $underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+infty $ và $fleft( {{x}_{0}} right)=fleft( {{log }_{7}}frac{6}{ln 7} right)<0$
Suy ra BBT:
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm. Chọn C.
|
Bài tập 6: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{x-1}}-{{2}^{{{x}^{2}}-x}}={{left( x-1 right)}^{2}}$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{2}^{x-1}}+x-1={{2}^{{{x}^{2}}-x}}+{{x}^{2}}-x$ (*)
Xét hàm số $fleft( t right)={{2}^{t}}+tRightarrow {f}’left( t right)={{2}^{t}}ln 2+1>0,,left( forall tin mathbb{R} right)Rightarrow fleft( t right)$ là hàm đồng biến trên $mathbb{R}$
Khi đó (*) $Leftrightarrow fleft( x-1 right)=fleft( {{x}^{2}}-x right)Leftrightarrow x-1={{x}^{2}}-xLeftrightarrow x=1$. Chọn B.
|
Bài tập 7: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-3x+1}}-{{2}^{x-2}}+left( x+1 right)left( x-3 right)=0$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-3x+1}}+{{x}^{2}}-3x+1={{2}^{x-2}}+x-2$ (*)
Xét hàm số $fleft( t right)={{2}^{t}}+tRightarrow {f}’left( t right)={{2}^{t}}ln 2+1>0,,left( forall tin mathbb{R} right)Rightarrow fleft( t right)$ là hàm đồng biến trên $mathbb{R}$
Khi đó (*) $Leftrightarrow fleft( {{x}^{2}}-3x+1 right)=fleft( x-2 right)Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=x-2Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=3 \ end{array} right.$. Chọn C.
|
Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}}-{{2}^{frac{1-2x}{{{x}^{2}}}}}=frac{x-2}{2x}$ là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
ĐK: $xne 0$. Khi đó $PTLeftrightarrow {{2}^{frac{1}{{{x}^{2}}}-1}}-{{2}^{frac{1}{{{x}^{2}}}-frac{2}{x}}}=frac{1}{2}-frac{1}{x}$
$Leftrightarrow {{2}^{frac{1}{{{x}^{2}}}-1}}+frac{1}{2}left( frac{1}{{{x}^{2}}}-1 right)={{2}^{frac{1}{{{x}^{2}}}-frac{2}{x}}}+frac{1}{2}left( frac{1}{{{x}^{2}}}-frac{2}{x} right)$
Xét hàm số $fleft( t right)={{2}^{t}}+frac{1}{2}tRightarrow {f}’left( t right)={{2}^{t}}ln 2+frac{1}{2}>0,,left( forall tin mathbb{R} right)Rightarrow fleft( t right)$ là hàm đồng biến trên $mathbb{R}$
Khi đó (*) $Leftrightarrow fleft( frac{1}{{{x}^{2}}}-1 right)=fleft( frac{1}{{{x}^{2}}}-frac{1}{x} right)Leftrightarrow frac{1}{{{x}^{2}}}-1=frac{1}{{{x}^{2}}}-frac{1}{x}Leftrightarrow -1=-frac{1}{x}Leftrightarrow x=1$. Chọn B.