adsense
GIẢI SGK Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị – Toán 11 CTST
=============
Bài 1 trang 32 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
a, \(y = 5si{n^2}\alpha + 1\)
b, \(y = cosx + sinx\)
c, \(y = tan2x\)
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.
-
- Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\)và \(f( – x) = f(x)\).
-
- Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\)và \(f( – x) = – f(x)\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
+ \(\forall \alpha \in D\) thì \( – \alpha \in D\)
+ Và \(f( – \alpha ) = 5si{n^2}( – \alpha ) + 1 = 5{( – sin\alpha )^2} + 1 = 5si{n^2}\alpha + 1 = f(\alpha )\).
Vậy hàm số \(y = 5si{n^2}\alpha + 1\) là hàm số chẵn.
b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
+ \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\)
+ Và \(f( – x) = cos( – x) + sin( – x) = \cos x – \sin x\).
\( \Rightarrow f( – x) \ne f(x),\,f( – x) \ne – f(x)\).
Vậy hàm số \(y = cosx + sinx\) là hàm không chẵn, không lẻ.
c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\)
+ \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\)
+ Và \(f( – x) = tan2( – x) = – tan2x = – f(x)\)
Vậy hàm số \(y = tan2x\) là hàm số lẻ.
Bài 2 trang 32 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(\begin{array}{l}a)\;y = \frac{1}{{cosx}}\\b)\;y = tan(x + \frac{\pi }{4})\\c)\;y = \frac{1}{{2 – si{n^2}x}}\end{array}\)
+ Hàm phân thức xác định khi mẫu khác 0.
+ Tập xác định hàm tanx là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm số y xác định khi \(cosx \ne 0 \Leftrightarrow \;x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Hàm số y xác định khi \(cos(x + \frac{\pi }{4}) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\( \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) Hàm số y xác định khi \(2 – si{n^2}x \ne 0\) \( \Leftrightarrow si{n^2}x \ne 2\)
Mà \(0 \le si{n^2}x \le 1\)\( \Rightarrow si{n^2}x \ne 2,\,\forall x\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Bài 3 trang 33 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
Tìm tập giá trị của hàm số \(y = 2cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)
Áp dụng \( – 1 \le cosx \le 1\) và biến đổi.
Lời giải chi tiết
\(y = 2cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( – 1 \le cosx \le 1\)
Suy ra\( – 1 \le 2cosx + 1 \le 3\)
Vậy tập giá trị của hàm số y là [−3;1].
Bài 4 trang 33 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = sinx\), xác định các giá trị \(x \in [ – \pi ;\pi ]\;\)thoả mãn \(sinx = \frac{1}{2}\)
adsense
Dựa vào hình vẽ và sử dụng đồ thị hàm số sin để trả lời.
Lời giải chi tiết
Đồ thị của hàm số \(y = sinx\) trên đoạn \([ – \pi ;\pi ]\;\) là:
Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng d: \(y = \frac{1}{2}\) tại 2 điểm do đó phương trình \(sinx = \frac{1}{2}\) có hai giá trị x thỏa mãn.
Bài 5 trang 33 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha \; = \;(Ox,OM)\) theo hàm số \({v_x} = 0,3sin\alpha \;\) (m/s) (Hình 11).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({v_x}\)
b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên \((0 \le \alpha \le 2\alpha )\), góc \(\alpha \)ở trong các khoảng nào thì \({v_x}\) tăng.
Dựa vào hình vẽ và sử dụng đồ thị hàm số sin để trả lời.
Lời giải chi tiết
a) Do \( – 1 \le sin\alpha \le 1\;\)nên \( – 0,3 \le sin\alpha \le 0,3\)
Vậy giá trị lớn nhất của \({v_x}\) là 0,3 (m) và giá trị nhỏ nhất của \({v_x}\) là -0,3 (m).
b) Ta có đồ thị hàm số:
Với góc \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hoặc \(\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) thì \({v_x}\) tăng.
Bài 6 trang 33 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12)
a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc \(\alpha = (OA,OG)\)
b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.
Dựa vào hình vẽ và sử dụng đồ thị hàm số sin để trả lời.
Lời giải chi tiết
a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \). Khi đó tọa độ điểm \(G\left( {3cos\alpha ;{\rm{ }}3sin\alpha } \right)\).
Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: \(3{\rm{ }} + {\rm{ }}3sin\alpha \) (m).
b) b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi \(3 + 3sin\alpha = 1,5 \Leftrightarrow sin\alpha {\rm{ }} = \frac{{ – 1}}{2}\)
Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].
Bài 7 trang 33 SGK Toán 11 tập 1 – CTST
Đề bài
Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, \(\alpha \) là góc lượng giác \((Tx,{\rm{ }}TA)\) \((0 < \alpha < \pi ).\)
a) Biểu diễn toạ độ \({x_H}\) của điểm H trên trục \({T_x}\) theo \(\alpha \).
b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với \(\frac{\pi }{6} < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}\) thì \({x_H}\) nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Dựa vào hình vẽ và sử dụng đồ thị hàm số côtang để giải.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:
\(\cot \alpha = \frac{{TH}}{{AH}} \Leftrightarrow TH = AH.\cot \alpha = 500.\cot \alpha \)
Vậy trên trục \({T_x}\) tọa độ \({x_H} = 500.\cot \alpha \).
b) Ta có đồ thị của hàm số\(y = cot\alpha \)trong khoảng \(\frac{\pi }{6} < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}\) là:
Khi đó \(-\;\frac{1}{{\sqrt 3 }} < cot\alpha < \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow -\;\frac{{500}}{{\sqrt 3 }} < 500.cot\alpha < \frac{{500}}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Leftrightarrow -\;\frac{{500}}{{\sqrt 3 }} < {x_H} < \frac{{500}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow – 288,7 < {x_H} < 866\).
Vậy \({x_H}\; \in \;\{ – 288,7;866\} \).