GIẢI SGK Bài tập cuối chương 1 – Toán 11 CTST – Sách Toán

Đề bài

Trong trường hợp nào dưới đây \(cos\alpha  = cos\beta \) và \(sin\alpha  =  – sin\beta \).

\(\begin{array}{l}A.\;\beta  =  – \alpha \\B.\;\beta  = \pi  – \alpha \\C.\;\beta  = \pi  + \alpha \\D.\;\beta  = \frac{\pi }{2} + \alpha \end{array}\)

Áp dụng

\(\begin{array}{l}\sin \left( { – \alpha } \right) =  – \sin \alpha \\\cos \left( { – \alpha } \right) = \cos \alpha \end{array}\)

Lời giải chi tiết

+) Xét \(\beta  =  – \alpha \), khi đó:

\(\begin{array}{l}cos\beta  = cos\left( {-{\rm{ }}\alpha } \right) = cos\alpha ;\\sin\beta  = sin\left( {-{\rm{ }}\alpha } \right) = -sin\alpha  \Leftrightarrow sin\alpha  = -sin\beta .\end{array}\)

Do đó A thỏa mãn.

Đáp án: A

Đề bài

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = sinx là hàm số chẵn.

B. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn

C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn

D. Hàm số y = cotx là hàm số chẵn

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D. Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và \(f( – x) = f(x)\).

Lời giải chi tiết

Ta có tập xác định của hàm số y = cosx là ℝ.

Nếu với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và y(– x) = cos(– x) = cosx = y(x).

Vậy hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

Đáp án: B

Đề bài

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác \(cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}A. – \frac{\pi }{9}\\B. – \frac{{5\pi }}{3}\\C. – \frac{{7\pi }}{9}\\D. – \frac{{13\pi }}{9}\end{array}\)

Phương trình \({\rm{cosx}} = m\),

• • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.

• • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha  = m\). Khi đó:

\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  – x – \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  – \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \),\(k \in \mathbb{Z}\) đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1, khi đó \(x = \frac{\pi }{3} – 2\pi  = \frac{{ – 5\pi }}{3}\)

Với \(x =  – \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\),\(k \in \mathbb{Z}\) đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0, khi đó \(x = x =  – \frac{\pi }{9} + 0.\frac{{2\pi }}{3} =  – \frac{\pi }{9}\)

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \( – \frac{\pi }{9}\).
Đáp án: A

Đề bài

Số nghiệm của phương trình \(tanx = 3\) trong khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right)\) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải chi tiết

Xét phương trình \(tanx = 3\)\( \Leftrightarrow \;x{\rm{ }} \approx {\rm{ }}1,25{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi ,{\rm{ }}k\; \in \;\mathbb{Z}\).

Do \( – \frac{\pi }{2} < x < \frac{{7\pi }}{3} \Leftrightarrow  – \frac{\pi }{2} < 1,25{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi  < \frac{{7\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow  – 0,9 < k < 1,94,\)\(k\; \in \;\mathbb{Z}\).

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Vậy có 2 nghiệm của phương trình đã cho nằm trong khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right)\).

Đáp án: B

Đề bài

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức: \(h(t) = 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}(t – 9)\;\) với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

(Theo https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0168192385900139)

A. \({32^o}C\), lúc 15 giờ

B. \({29^o}C\), lúc 9 giờ

C. \({26^o}C\), lúc 3 giờ

D. \({26^o}C\), lúc 0 giờ

Áp dụng tính chất \( – 1 \le \sin x\; \le 1\) và giải phương trình sin.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l} – 1 \le sin\frac{\pi }{{12}}(t – 9)\; \le 1\\ \Leftrightarrow  – 3 \le 3sin\frac{\pi }{{12}}(t – 9)\; \le 3\\ \Leftrightarrow  – 26 \le 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}(t – 9)\; \le 32\\ \Leftrightarrow  – 26 \le h(t) \le 32\end{array}\)

Vâỵ nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26°C khi:

\(\begin{array}{l}29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}(t – 9) = 26\\ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{{12}}(t – 9) =  – 1\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t – 9) =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 3 + 24k,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Do t là thời gian trong ngày tính bằng giờ nên \(0 \le t \le 24\). Suy ra: \(k = 0 \Rightarrow t = 3\).

Vì vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiều độ thấp nhất của thành phố là 26°C.

Đáp án: C

Đề bài

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

1 vòng tròn là 360^o tức \(2\pi \).

Lời giải chi tiết

Trong 3 giây, quạt quay được: \(3.\frac{{45}}{{60}} = \frac{9}{4}\) (vòng)

Vậy quạt quay dược một góc: \(2\pi .\frac{9}{4} = \frac{{9\pi }}{2}\) (rad).

Đề bài

Cho \(cos\alpha  = \frac{1}{3}\) và \( – \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\). Tính

\(\begin{array}{l}a)\;sin\alpha \\b)\;sin2\alpha \\c)\;cos\left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)

Áp dụng:

\({\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

adsense

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b – \sin asinb\)

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \({\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Vì \( – \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) nên \(sin\alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(b)\;\,sin2\alpha  = 2sin\alpha .cos\alpha  = 2.\left( { – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{1}{3} =  – \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)

\(c)\;cos(\alpha  + \frac{\pi }{3}) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} – sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} – \left( { – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 6  + 1}}{6}\).

Đề bài

Chứng minh đẳng thức lượng giác:

\(\begin{array}{l}a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  – \beta ) = si{n^2}\alpha  – si{n^2}\beta \\b)\;co{s^4}\alpha  – co{s^4}\left( {\alpha  – \frac{\pi }{2}} \right) = cos2\alpha \end{array}\)

Áp dụng:

a, \(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

b, \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải chi tiết

\(a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  – \beta ) = \;\frac{1}{2}.\left[ {cos\left( {\alpha  + \beta  – \alpha  + \beta } \right) – cos\left( {\alpha  + \beta  + \alpha  – \beta } \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} = \;\frac{1}{2}.(cos2\beta  – cos2\alpha ) = \;\frac{1}{2}.(1 – 2si{n^2}\beta  – 1 + 2si{n^2}\alpha )\\ = si{n^2}\alpha  – si{n^2}\beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;co{s^4}\alpha  – co{s^4}\left( {\alpha  – \frac{\pi }{2}} \right) = \;co{s^4}\alpha  – si{n^4}\alpha \\ = \;(co{s^2}\alpha  + si{n^2}\alpha )(co{s^2}\alpha  – si{n^2}\alpha )\\ = \;co{s^2}\alpha -si{n^2}\alpha  = cos2\alpha .\end{array}\)

Đề bài

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) – sin2x = 0\;\) là bao nhiêu?

Phương trình sinx = m ,

• • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.

• • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha  = m\),

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  – \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết

Xét phương trình \(sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) – sin2x = 0\;\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = sin2x.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi  – 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \) có nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{6}\) khi \(k = 0\).

Với \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\) có nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{5\pi }}{{18}}\) khi \(k = 0\).

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{6}\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\;sin2x + cos3x = 0\\b)\;sinx.cosx = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\c)\;sinx + sin2x = 0\end{array}\)

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để đưa về các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\;sin2x + cos3x = 0\\ \Leftrightarrow cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) + cos3x = 0\\ \Leftrightarrow cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) =  – cos3x\\ \Leftrightarrow cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = cos\left( {\pi  – 3x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} – 2x = \pi  – 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} – 2x =  – \pi  + 3x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;sinx.cosx = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\;sin2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow sin2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = sin\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi  – \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;sinx + sin2x = 0\\ \Leftrightarrow sinx =  – sin2x\\ \Leftrightarrow sinx = sin( – 2x)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – 2x + k2\pi \\x = \pi  + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{{2\pi }}{3}\\x =  – \pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Đề bài

Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h(t) = 0,8cos0,5t + 4.\)

(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/business/an-introduction-to-tidal-modelling.pdf)

a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng đầu tiên sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

a) Thay t = 2 vào công thức h(t).

b) Giải phương trình côsin để tìm t.

Lời giải chi tiết

a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: \(h\left( 2 \right) = 0,8cos0,5.2 + 4 \approx 4,43{\rm{ }}m.\)

Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.

b) Các thời điểm để mực nước sâu là 3,6m tương ứng với phương trình \(0,8cos0,5t + 4 = 3,6\).

Ta có: \(0,8cos0,5t + 4 = 3,6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow cos0,5t =  – \frac{1}{2} = cos\frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow 0,5t =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t =  \pm \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Với \(t = \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \), trong 12 tiếng ta có các thời điểm \(0 \le \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi  \le 12 \Leftrightarrow  – 0,3 \le k \le 0,62 \Rightarrow k = 0. \Rightarrow t = \frac{{4\pi }}{3}\)

Với \(t =  – \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \), trong 12 tiếng ta có các thời điểm \(0 \le  – \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi  \le 12 \Leftrightarrow 0,3 \le k \le 1,28 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t =  – \frac{{4\pi }}{3} + 4\pi  = \frac{{8\pi }}{3}\)

Vậy tại các thời điểm \(t = \frac{{4\pi }}{3}\), \(t = \frac{{8\pi }}{3}\)giờ thì tàu có thể hạ thủy.

Đề bài

Cho vận tốc \(v{\rm{ }}\left( {cm/s} \right)\) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức \(v =  – 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right).\)

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s

a, Dựa vào tính chất \( – 1 \le \sin x\; \le 1\) để tìm giá trị lớn nhất.

b, Giải phương trình sin để tìm t.

Lời giải chi tiết

Do \( – 1 \le sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  – 3 \le  – 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3 \Leftrightarrow  – 3 \le v \le 3\)

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi

\( – 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 3 \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) =  – 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { – \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow t =  – \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Vì vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất tại các thời điểm \(t =  – \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)

b) Để vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s thì \( – 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1,5 \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) =  – \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} =  – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  – \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\\t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy tại các thời điểm \(t =  – \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\), \(t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\), \(k \in \mathbb{Z}\) thì vận tốc của con lắc đạt 1,5 cm/s.

Đề bài

Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh \({\theta _t} = (AB,AE)\) phụ thuộc vào vị trí của Mặt trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức \({\theta _s}(t) = (AB,AE) = \frac{\pi }{{12}}(t – 12)\;\) rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18).

(Theo https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/solar-hour-angle)

a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.

b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với toạ độ là \({x_N} =  – 4\;\) (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

a, Dựa vào hình vẽ để viết hàm số biểu diễn tọa độ điểm E.

b, Giải bất phương trình để tìm ra t.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABE vuông tại B, có:

\(tan{\theta _s}(t) = \frac{{BE}}{{AB}} \Leftrightarrow BE = 5tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t – 12)} \right)\)

b) Đồ thị của hàm số \({\theta _s} = 5tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t – 12)} \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số để \({\theta _s} = 5tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t – 12)} \right) <  – 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow tan\left( {\frac{\pi }{{12}}(t – 12)} \right) <  – \frac{4}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}(t – 12) <  – 0,67\\ \Leftrightarrow t < 9,4\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(6 < t < 18 \Rightarrow 6 < t < 9,4\).

Vậy thời điểm bóng cây phủ qua hàng rào là 6 < t < 9,4.