Hàm số sau (f(x) = xsqrt {x + 1} ) có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng bao nhiêu ?

Ta có: (int {xsqrt {x + 1} ,dx} )

Đặt (t = sqrt {x + 1}  Rightarrow {t^2} = x + 1)(, Leftrightarrow x = t{}^2 – 1)

( Rightarrow dx = dleft( {{t^2} – 1} right) = 2t,dt)

Khi đó ta có:

(begin{array}{l}int {xsqrt {x + 1} ,dx} \ = int {left( {{t^2} – 1} right)t.2tdt} \ = 2int {left( {{t^4} – {t^2}} right)dt} \ = 2left( {dfrac{{{t^5}}}{5} – dfrac{{{t^3}}}{3}} right) + Cend{array})

Với (left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 1\x = 3 to t = 2end{array} right.)         

Theo giải thiết (Fleft( 0 right) = 2 Rightarrow 2left( {dfrac{1}{5} – dfrac{1}{3}} right) + C = 2 )(,Leftrightarrow C = dfrac{{34}}{{15}})

Khi đó (Fleft( {x = 3} right) = Fleft( {t = 2} right) )(,= 2left( {dfrac{{{2^5}}}{5} – dfrac{{{2^3}}}{3}} right) + dfrac{{34}}{{15}} = dfrac{{146}}{{15}}.)

Chọn đáp án A.