Câu hỏi:
Biết rằng (lim left( {frac{{{{left( {sqrt 5 } right)}^n} – {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{left( {sqrt 5 } right)}^{n + 1}} – 3}} + frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} – 1}}} right) = frac{{asqrt 5 }}{b} + c) với (a,b,c in mathbb{Z}). Tính giá trị của biểu thức (S = {a^2} + {b^2} + {c^2}).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Ta có:
(begin{array}{l},,,,lim left( {frac{{{{left( {sqrt 5 } right)}^n} – {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{left( {sqrt 5 } right)}^{n + 1}} – 3}} + frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} – 1}}} right)\ = lim frac{{{{left( {sqrt 5 } right)}^n} – {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{left( {sqrt 5 } right)}^{n + 1}} – 3}}\ + lim frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} – 1}}\ = lim frac{{1 – {{left( {frac{2}{{sqrt 5 }}} right)}^n}.2 + {{left( {frac{1}{{sqrt 5 }}} right)}^n}}}{{5.{{left( {frac{2}{{sqrt 5 }}} right)}^n} + sqrt 5 – {{left( {frac{3}{{sqrt 5 }}} right)}^n}}}\ + lim frac{{2 + frac{3}{{{n^2}}}}}{{1 – frac{1}{{{n^2}}}}}\ = frac{{1 – 2.0 + 0}}{{5.0 + sqrt 5 – 0}} + frac{2}{1}\ = frac{{sqrt 5 }}{5} + 2end{array})
( Rightarrow a = 1,,,b = 5,,,c = 2).
Vậy (S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {1^2} + {5^2} + {2^2} = 30.)
Chọn B.
ADSENSE