adsense
Lý thuyết Bài tập cuối chương 10 – Chân trời
============
1.1. Không gian mẫu và biến cố
a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
|
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hoạt đồng mà ta không thẻ biết trước được kết quả của nó. Tâp hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là (Omega ) |
|---|
Chú ý: Trong chương này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử
b) Biến cố
|
Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố, kí hiệu là A, B, C,… Một kết quả thuộc A được gọi là kết quả làm cho A xảy ra, hoặc kết quả thuận lợi cho A. |
|---|
+ Biến cố chắc chăn là biến cô luôn xảy ra, kí hiệu là (Omega ).
+ Biến cố không thể là biến cô không bao giờ xảy ra, kỉ hiệu là (emptyset ).
+ Đôi khi ta cần dùng các quy tắc đêm và công thức tổ hợp đề xác định số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuân lợi cho mỗi biến cố.
1.2. Xác suất của biến cố
a) Xác suất của biến cố
|
Không gian mẫu (Omega ) gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biên cố. Xác suất cũa biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: (Pleft( A right) = frac{{nleft( A right)}}{{nleft( Omega right)}}) trong đó: n(A) và n((Omega)) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập A và (Omega). |
|---|
Chú ý:
+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.
+ Với mọi biến cố A, (0 le Pleft( A right) le 1).
+ (Pleft( Omega right) = 1,Pleft( emptyset right) = 0).
Xác suất của mỗi biến cố đo lường khả năng xảy ra của biển cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suât của nó càng gần 1
b) Tính xác suất bằng sơ đồ hình cây
Trong chương VIII, chúng ta đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đô hình cây đề liệt kê các kết quả của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất
Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tỉnh xác suât của biến cố A: “Trong 3 lần tung có ít nhất 2 lần liên tiếp xuât hiện mặt sấp”.
Giải
Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nều tung được mặt ngửa. Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần tung được thê hiện ở sơ đồ hình cây như sau
Có tật cả 8 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho A. Do đó: (Pleft( A right) = frac{3}{8})
c) Biến cố đối
|
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cổ “Không xảy ra A”, kí hiệu là (overline A ), được gọi là biến cố đối của A. (overline A = Omega backslash A;;;;;;;;;;;Pleft( {overline A } right) + Pleft( A right) = 1) |
|---|
d) Nguyên lí xác suất bé
Trong thực tế, các biến cố có xác suât xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một phép thử. Ngược lại, các biển cố mà xác suất xảy ra gần băng 0 thì gần như không xảy ra trong một phép thử.
Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một biển cố cố xác suất rất bẻ thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra
Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đấm là số dương. Tuy nhiên, nểu tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rât nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.
Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rât nhỏ, chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không, vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rât cao.
Câu 1: Trong một phép thử gieo hai con xúc xắc, gọi B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm” và C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp hai lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”
a) Hãy xác định biến cố B và C bằng cách liệt kê các phần tử
b) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho B và bao nhiêu kết quả thuận lợi cho C?
Hướng dẫn giải
a) Kết quả của phép thử là một cặp số (a;b) trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai, suy ra:
(B = left{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} right})
adsense
(C = left{ {(2;1),(4;2),(6;3)} right})
b) Từ tập hợp mô tả biến cố ở câu a) ta có:
Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố B
Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C
Câu 2: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Hướng dẫn giải
a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố ‘Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là (n(Omega ) = {6^3})
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: (n(A) = {4^3})
Xác suất của biến cố A là: (P(A) = frac{{n(A)}}{{n(Omega )}} = frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = frac{8}{{27}})
Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là (1 – frac{8}{{27}} = frac{{19}}{{27}})
b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là (n(Omega ) = {6^3})
Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: (B = left{ {(1;1;1),(1;1;2)} right}). Số kết quả thuận lợi cho B là: (n(A) = 2)
Xác suất của biến cố A là: (P(A) = frac{{n(A)}}{{n(Omega )}} = frac{2}{{{6^3}}} = frac{1}{{108}})
Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là (1 – frac{1}{{108}} = frac{{107}}{{108}})
Câu 3: Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:
a) Có ít nhất 1 bi xanh
b) Có ít nhất 2 bi đỏ
Hướng dẫn giải
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là (n(Omega ) = C_{12}^4 = 495)
a) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh”, suy ra biến cố đối của biến cố A là (overline A ): “Trong 4 viên bi lấy ra không có viên bi xanh nào”
(overline A ) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc vàng. Số kết quả thuận lợi cho (overline A )là: (n(A) = C_9^4 = 126)
Xác suất của biến cố (overline A ) là: (P(overline A ) = frac{{n(overline A )}}{{n(Omega )}} = frac{{126}}{{495}} = frac{{14}}{{55}})
Vậy xác suất của biến cố A là (P(A) = 1 – Pleft( {overline A } right) = 1 – frac{{14}}{{55}} = frac{{41}}{{55}})
b) Gọi biến cố A: “Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 bi đỏ ”, suy ra biến cố đối của biến cố A là (overline A ): “Trong 4 viên bi lấy ra có nhiều hơn 2 bi đỏ”
(overline A ) xảy ra khi 4 viên bi lấy ra có 3 hoặc 4 bi đỏ. Số kết quả thuận lợi cho (overline A )là: (n(A) = C_4^3.8 + C_4^4 = 33)
Xác suất của biến cố (overline A ) là: (P(overline A ) = frac{{n(overline A )}}{{n(Omega )}} = frac{{33}}{{495}} = frac{1}{{15}})
Vậy xác suất của biến cố A là (P(A) = 1 – Pleft( {overline A } right) = 1 – frac{1}{{15}} = frac{{14}}{{15}})
===========
Chuyên mục: Chương 10: Xác suất