I. Giới hạn của hàm số tại một điểm
Hàm số (y = fleft( x right)) có giới hạn là số (L) khi (x) dần tới ({x_0}) kí hiệu là (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L).
Nhận xét: (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} x = {x_0},mathop {lim }limits_{x to {x_0}} c = c) với (c) là hằng số.
Định lý: Giả sử (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = M). Khi đó:
+) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right] = L + M)
+) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right] = L – M)
+) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right] = L.M)
+) (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}} = dfrac{L}{M}) với (M ne 0)
Nếu (fleft( x right) ge 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L) thì (L ge 0) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} sqrt {fleft( x right)} = sqrt L ).
II. Giới hạn một bên
Số (L) là:
+ giới hạn bên phải của hàm số (y = fleft( x right)) kí hiệu là (mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = L)
+ giới hạn bên trái của hàm số (y = fleft( x right)) kí hiệu là (mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = L)
Định lý: (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = L)
III. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Hàm số (y = fleft( x right)) có giới hạn là số (L) khi (x to + infty ) (hoặc (x to – infty )) kí hiệu là:(mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) = L) (hoặc (mathop {lim }limits_{x to – infty } fleft( x right) = L))
Với (c,k) là hằng số và (k) nguyên dương, ta luôn có: (mathop {lim }limits_{x to pm infty } c = c,mathop {lim }limits_{x to pm infty } dfrac{c}{{{x^k}}} = 0).
IV. Giới hạn vô cực của hàm số
a) Giới hạn vô cực
Hàm số (y = fleft( x right)) có giới hạn là ( pm infty ) khi (x to pm infty ) kí hiệu là (mathop {lim }limits_{x to pm infty } fleft( x right) = x = pm infty )
(mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) = + infty ) ( Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to + infty } left[ { – fleft( x right)} right] = – infty )
b) Một vài giới hạn đặc biệt
+) (mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^k} = + infty ) với (k) nguyên dương.
+) (mathop {lim }limits_{x to – infty } {x^k} = + infty ) nếu (k) chẵn và (mathop {lim }limits_{x to – infty } {x^k} = – infty ) nếu (k) lẻ.