I. Các bất đẳng thức tìm min, max liên quan đến số phức
– Mô đun của số phức (z = a + bi) là (left| z right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} ge 0)
– Bất đẳng thức Cô-si: (x + y ge 2sqrt {xy} ) với (x,y > 0)
– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2})
– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: (left| {left| {{z_1}} right| – left| {{z_2}} right|} right| le left| {{z_1} pm {z_2}} right| le left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|)
II. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất
Phương pháp:
– Bước 1: Gọi số phức (z = x + yileft( {x,y in R} right)).
– Bước 2: Thay (z) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của (x,y).
– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra (x,y Rightarrow z).
Ví dụ: Cho ({z_1};{z_2}) thỏa mãn (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 1;left| {{z_1} + {z_2}} right| = 3.) Tính max(T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|.)
A. (8)
B. (10)
C. (4)
D. (sqrt {10} )
Giải
Đặt ({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.) (({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} in R)). Điều kiện đã cho trở thành
+) (left| {{z_1} – {z_2}} right| = 1)( Rightarrow left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} right| = 1 Leftrightarrow sqrt {{{({x_1} – {x_2})}^2} + {{({y_1} – {y_2})}^2}} = 1)
( Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 – 2{x_1}{x_2} – 2{y_1}{y_2} = 1) (1)
+) (left| {{z_1} + {z_2}} right| = 3 Rightarrow left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} right| = 3)
( Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5)
+) (T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| = sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} )
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
(T = 1.sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} le sqrt {left( {1 + 1} right).left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} right)} )
( = sqrt {2.5} = sqrt {10} Rightarrow ) (max T = sqrt {10} .)
Đáp án D.
III. Sử dụng phương pháp hình học để giải các toán tìm min, max liên quan đến số phức
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun
Số phức (z = x + yi(x,y in R)) có điểm biểu diễn là (M(x,y)). Mô đun của số phức (z) là độ dài đoạn thẳng (OM) với (O) là gốc tọa độ.
Ví dụ: Cho số phức (z = x + yi) thỏa mãn (left| {z – 2 – 4i} right| = left| {z – 2i} right|) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính (N = {x^2} + {y^2}.)
A. (N = 8)
B. (N = 10)
C. (N = 16)
D. (N = 26)
Giải
Gọi (M(x,y)) là điểm biểu diễn của số phức (z = x + yi)
+) (left| {z – 2 – 4i} right| = left| {z – 2i} right|)( Rightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {x^2} + {(y – 2)^2} Leftrightarrow – 4x + 4 – 8y + 16 = – 4y + 4)
( Leftrightarrow 4x + 4y = 16 Leftrightarrow x + y – 4 = 0)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của (z) là một đường thẳng (x + y – 4 = 0)
+) (N = {x^2} + {y^2} = {left| z right|^2})
( Rightarrow N)min( Leftrightarrow left| z right|)min( Leftrightarrow OM)min ( Rightarrow OM bot d:x + y – 4 = 0)
( Rightarrow M(2,2)) ( Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8)
Đáp án A.
IV. Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ: Cho (z) thỏa mãn (left| {z – 2 – 4i} right| = sqrt 5 .) Tìm max(left| z right|.)
A. (3sqrt 5 )
B. (5)
C. (sqrt 5 )
D. (sqrt {13} )
Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: (left| z right| – left| { – 2 – 4i} right| le left| {z – 2 – 4i} right| Leftrightarrow left| z right| – sqrt {20} le sqrt 5 Leftrightarrow left| z right| le sqrt {20} + sqrt 5 = 3sqrt 5 )
( Rightarrow ) max(left| z right| = 3sqrt 5 )
Đáp án A.