I. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng (left( P right)) và mặt cầu (left( S right)) tâm (I) bán kính (R). Khi đó:
– (left( S right) cap left( P right) = emptyset Leftrightarrow dleft( {I,left( P right)} right) > R).
– (left( S right) cap left( P right) = left{ H right} Leftrightarrow dleft( {I,left( P right)} right) = R).
ở đó, (H) là tiếp điểm, (left( P right)) là tiếp diện và (OH bot left( P right)) tại (H).
– (left( S right) cap left( P right) = Cleft( {H;r} right) Leftrightarrow dleft( {I,left( P right)} right) < R).
ở đó : với (H) là hình chiếu của (I) trên (left( P right)).
Đặc biệt: (dleft( {I,left( P right)} right) = 0) hay (left( P right)) đi qua (I) thì (left( S right) cap left( P right) = Cleft( {I;R} right)).
(Cleft( {I;R} right)) được gọi là đường tròn lớn, (left( P right)) là mặt phẳng kính.
II. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:
+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu (dleft( {I,left( P right)} right) = R)
+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính (r) thì (R^2 = {r^2} + {d^2}left( {I,left( P right)} right))
– Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.
III. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng ((P)) dựa vào điều kiện bài cho.
+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm (H) thì (overrightarrow {{n_P}} = overrightarrow {IH} )
+ Trường hợp ((P)) song song với mặt phẳng ((Q):ax+by+cz+d=0) ((a,b,c,d) là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính (r) thì (overrightarrow {{n_P}} = overrightarrow {{n_Q}} ) tức là ((P):ax+by+cz+d’=0).
và (dleft( {I,left( P right)} right) = sqrt {{R^2} – {r^2}} ).
– Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.
+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm (H): Xác định điểm (H) rồi lập phương trình mặt phẳng.
+ Trường hợp ((P)) song song với mặt phẳng ((Q):ax+by+cz+d=0) ((a,b,c,d) là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính (r):
Sử dụng (dleft( {I,left( P right)} right) = sqrt {{R^2} – {r^2}} ) để tìm d’.