I. Định nghĩa
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định và liên tục trên khoảng (left( {a;b} right)) và điểm ({x_0} in left( {a;b} right)).
a) Hàm số (fleft( x right)) đạt cực đại tại ({x_0} Leftrightarrow exists h > 0,fleft( x right) < fleft( {{x_0}} right),forall x in left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)backslash left{ {{x_0}} right})
Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực đại của hàm số.
b) Hàm số (fleft( x right)) đạt cực tiểu tại
({x_0} Leftrightarrow exists h > 0,fleft( x right) > fleft( {{x_0}} right),forall x in left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)backslash left{ {{x_0}} right}) Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.
a) Cần phân biệt các các khái niệm:
– Điểm cực trị ({x_0}) của hàm số.
– Giá trị cực trị của hàm số.
– Điểm cực trị (left( {{x_0};{y_0}} right)) của đồ thị hàm số.
b) Nếu (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên (left( {a;b} right)) và đạt cực trị tại ({x_0} in left( {a;b} right)) thì (f’left( {{x_0}} right) = 0).
II. Định lý 1
Giả sử hàm số (y = fleft( x right)) liên tục trên khoảng (K = left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)) và có đạo hàm trên (K) hoặc (Kbackslash left{ {{x_0}} right}left( {h > 0} right)).
a) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} – h} right)\f’left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực đại của hàm số.
b) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} – h} right)\f’left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực tiểu của hàm số.
Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
III. Định lý 2
Giả sử (y = fleft( x right)) có đạo hàm cấp 2 trong (left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)left( {h > 0} right)).
a) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left( {{x_0}} right) = 0\f”left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực tiểu của hàm số.
b) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left( {{x_0}} right) = 0\f”left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực đại của hàm số.
IV. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:
Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1)
– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
– Bước 2: Tính (f’left( x right)), tìm các điểm tại đó (f’left( x right) = 0) hoặc không xác định.
– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.
Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)
– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
– Bước 2: Tính (f’left( x right)), giải phương trình (f’left( x right) = 0) và kí hiệu ({x_1},…,{x_n}) là các nghiệm của nó.
– Bước 3: Tính (f”left( x right)) và (f”left( {{x_i}} right)).
– Bước 4: Dựa và dấu của (f”left( {{x_i}} right)) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:
+ Tại các điểm ({x_i}) mà (f”left( {{x_i}} right) > 0) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Tại các điểm ({x_i}) mà (f”left( {{x_i}} right) < 0) thì đó là điểm cực đại của hàm số.
Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.