I. Nguyên hàm từng phần và bài toán tìm nguyên hàm
(int {udv} = uv – int {vdu} )
Bài toán: Tính nguyên hàm (int {fleft( x right)dx} = int {gleft( x right).hleft( x right)dx} )
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = gleft( x right)\dv = hleft( x right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = g’left( x right)dx\v = int {hleft( x right)dx} end{array} right.) ((vleft( x right)) là một nguyên hàm của (hleft( x right)))
– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức (int {fleft( x right)dx} = uv – int {vdu} )
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số (fleft( x right) = ln x).
Giải:
Đặt (left{ begin{array}{l}u = ln x\dv = dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{1}{x}dx\v = xend{array} right.)
Do đó (int {ln xdx} = uv – int {vdu} = x.ln x – int {x.dfrac{1}{x}dx} = xln x – int {dx} = xln x – x + C)
II. Dạng 1: Hàm số logarit
Tính nguyên hàm (int {fleft( x right)ln left( {ax + b} right)dx} ) với $f(x)$ là một hàm đa thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = ln left( {ax + b} right)\dv = fleft( x right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\v = int {fleft( x right)dx} end{array} right.)
– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức (int {fleft( x right)ln left( {ax + b} right)dx} = uv – int {vdu} )
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft( x right) = xln x$
Giải: Ta có $Fleft( x right) = int {fleft( x right)dx} = int {xln xdx} $.
Đặt $left{ begin{array}{l}u = ln x\dv = xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dx}}{x}\v = dfrac{{{x^2}}}{2}end{array} right.$
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:
$Fleft( x right) = dfrac{1}{2}{x^2}ln x – dfrac{1}{2}int {xdx} = dfrac{1}{2}{x^2}ln x – dfrac{1}{4}{x^2} + C$
III. Dạng 2: Hàm số mũ
Tính nguyên hàm (int {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} ) với $f(x)$ là một hàm đa thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft( x right)\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left( x right)dx\v = dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}end{array} right.)
– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức (int {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} = uv – int {vdu} )
Ví dụ: Tính $I = int {x{e^x}{rm{d}}x} $
Giải:
Đặt $left{ begin{array}{l}u = x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v = {e^x}end{array} right.$
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có
$I = int {x{e^x}dx} = x{e^x} – int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} – int {dleft( {{e^x}} right)} = x{e^x} – {e^x} + C$
IV. Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức
Tính nguyên hàm (int {fleft( x right)sin left( {ax + b} right)dx} ) hoặc (int {fleft( x right)cos left( {ax + b} right)dx} ).
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft( x right)\dv = sin left( {ax + b} right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left( x right)dx\v = – dfrac{1}{a}cos left( {ax + b} right)end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = fleft( x right)\dv = cos left( {ax + b} right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left( x right)dx\v = dfrac{1}{a}sin left( {ax + b} right)end{array} right.)
– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức (int {fleft( x right)sin left( {ax + b} right)dx} = uv – int {vdu} ) hoặc (int {fleft( x right)cos left( {ax + b} right)dx} = uv – int {vdu} )
Ví dụ: Tính (I = int {xsin xdx} )
Giải:
Đặt (left{ begin{array}{l}u = x\dv = sin xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v = – cos xend{array} right.)
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
(I = – xcos x + int {cos xdx} = – xcos x + sin x + C)
V. Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ
Tính nguyên hàm (int {{e^{ax + b}}sin left( {cx + d} right)dx} ) hoặc (int {{e^{ax + b}}cos left( {cx + d} right)dx} ).
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = sin left( {cx + d} right)\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = cos left( {cx + d} right)\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right.)
– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức (uv – int {vdu} ).
– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.
– Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = sin left( {cx + d} right)dxend{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = cos left( {cx + d} right)dxend{array} right.)
Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = int {sin x.{e^x}{rm{d}}x} $
Giải:
Đặt (left{ begin{array}{l}u = sin x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = cos xdx\v = {e^x}end{array} right.).
Khi đó (I = {e^x}sin x – int {cos x{e^x}dx} = {e^x}sin x – J)
Tính (J = int {cos x{e^x}dx} ). Đặt (left{ begin{array}{l}u = cos x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = – sin xdx\v = {e^x}end{array} right.)
Suy ra (J = {e^x}cos x + int {sin x{e^x}dx} = {e^x}cos x + I.)
Do đó (I = {e^x}sin x – J = {e^x}sin x – left( {{e^x}cos x + I} right) Leftrightarrow 2I = {e^x}sin x – {e^x}cos x)
Vậy (I = dfrac{1}{2}left( {{e^x}sin x – {e^x}cos x} right) + C)
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có các hàm số sau thì thứ tự ưu tiên để đặt u là:
Lôgarit-> Hàm đa thức -> Hàm mũ -> Hàm lượng giác