BÀI TẬP ÁP DỤNG HỆ THỨC ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
|
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì T = 2 s và biên độ A =10 cm. Tốc độ của vật khi vật cách vị trí cân bằng một khoảng 6 cm là: A. $8pi text{ cm/s}text{.}$ B. $6pi text{ cm/s}text{.}$ C. $8text{ cm/s}text{.}$ D. $text{10 cm/s}text{.}$ |
Lời giải
Do $overrightarrow{x}bot overrightarrow{v}Rightarrow {{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}Rightarrow left| v right|=omega sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=frac{2pi }{T}sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8pi text{ cm/s}text{.}$
Chọn A.
|
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với tần số góc là 4 rad / s. Biết rằng khi vật đi qua điểm có li độ -8 cm thì nó có tốc độ là 8 cm / s. Biên độ dao động của vật là: A. $A=16cm.$ B. $A=8sqrt{2}cm.$ C. $A=4sqrt{5}cm.$ D. $A=4sqrt{3}cm.$ |
Lời giải
Do $overrightarrow{x}bot overrightarrow{v}Rightarrow {{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}Rightarrow A=sqrt{{{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}}=sqrt{(-{{8}^{2}})+{{left( frac{8}{4} right)}^{2}}}=4sqrt{5}$. Chọn C.
|
Ví dụ 3: [Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017], Một vật dao động điều hoà với biên độ 20 cm. Khi li độ là 10 cm thì vận tốc của vật là $20pi sqrt{3}text{ cm/s}text{.}$. Chu kì dao động của vật là: A. 0,1 s. B. 0,5 s. C. 1 s. D. 5 s. |
Lời giải
Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}Rightarrow omega =frac{left| v right|}{sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2pi Rightarrow T=frac{2pi }{omega }=1s.$Chọn C.
|
Ví dụ 4: : [Trích đề thi đại học năm 2009] Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình $x=Acos left( omega t+varphi right).$. Gọi v và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là: A. $frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{4}}}+frac{{{a}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}.$ B. $frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}+frac{{{a}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}.$ C. $frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}+frac{{{a}^{2}}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$ D. $frac{{{omega }^{2}}}{{{v}^{2}}}+frac{{{a}^{2}}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$ |
Lời giải
Ta có: $overrightarrow{v}bot overrightarrow{a}Rightarrow {{left( frac{v}{{{v}_{max }}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{a}_{max }}} right)}^{2}}=1Rightarrow {{left( frac{v}{omega A} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{omega }^{2}}A} right)}^{2}}=1$
$Leftrightarrow frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}+frac{{{a}^{2}}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$Chọn C.
|
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm ${{t}_{1}}$vật có li độ ${{x}_{1}}$= 1 cm , và có vận tốc ${{v}_{1}}$= 30 cm / s. Đến thời điểm ${{t}_{2}}$vật có li độ x2 = 3 cm và có vận tốc ${{v}_{2}}$= 10 cm / s. Hãy xác định biên độ, tần số góc của vật. A. $A=sqrt{10}text{ cm;}omega text{ = 10 rad/s}text{.}$ B. $A=sqrt{10}text{ cm;}omega text{ = }sqrt{10}text{ rad/s}text{.}$ C. $A=10text{ cm;}omega text{ = }pi text{ rad/s}text{.}$ D. $A=10text{ cm;}omega text{ = 10 rad/s}text{.}$ |
Lời giải
Do $overrightarrow{x}bot overrightarrow{v}$ suy ra ${{left( frac{x}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{v}{-omega A} right)}^{2}}=1.$
Theo đề bài ta có: $left{ begin{matrix}{{left( frac{{{x}_{1}}}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{{{v}_{1}}}{omega A} right)}^{2}}=1 \{{left( frac{{{x}_{2}}}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{{{v}_{2}}}{omega A} right)}^{2}}=1 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}frac{1}{{{A}^{2}}}+frac{900}{{{omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 \frac{9}{{{A}^{2}}}+frac{100}{{{omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}frac{1}{{{A}^{2}}}=frac{1}{10} \frac{1}{{{omega }^{2}}{{A}^{2}}}=frac{1}{1000}Leftrightarrow left{ begin{matrix}A=sqrt{10}cm \omega =10rad/s \end{matrix} right. \end{matrix} right.$
Chọn A
|
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm ${{t}_{1}}$ vật có li độ ${{x}_{1}}$ và có vận tốc ${{v}_{1}}$. Đến thời điểm t2 vật có li độ ${{x}_{2}}left( {{x}_{1}}ne {{x}_{2}} right)$) và có vận tốc ${{v}_{2}}$. Chu kì dao động của vật là A. $T=2pi sqrt{frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.}$ B. $T=2pi sqrt{frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ C. $T=2pi sqrt{frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}.}$ D. $T=2pi sqrt{frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}.}$ |
Lời giải
Do $overrightarrow{x}bot overrightarrow{v}$ suy ra ${{left( frac{x}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{v}{-omega A} right)}^{2}}=1.$
Theo đề bài ta có: $left{ begin{matrix}{{left( frac{{{x}_{1}}}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{{{v}_{1}}}{omega A} right)}^{2}}=1 \{{left( frac{{{x}_{2}}}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{{{v}_{2}}}{omega A} right)}^{2}}=1 \end{matrix} right.Leftrightarrow x_{1}^{2}+frac{v_{1}^{2}}{{{omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+frac{v_{2}^{2}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}Rightarrow {{omega }^{2}}=frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}$
$Rightarrow T=frac{2pi }{omega }=2pi sqrt{frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}=2pi sqrt{frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.}$. Chọn B.
|
Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox , ở thời điểm ${{t}_{1}}$, vật có li độ ${{x}_{1}}$, và có vận tốc ${{v}_{1}}$. Đến thời điểm t2 vật có li độ ${{x}_{2}}left( {{x}_{1}}ne {{x}_{2}} right)$và có vận tốc ${{v}_{2}}$. Biên độ dao động của vật A. $A=sqrt{frac{v_{2}^{2}x_{1}^{2}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ B. $A=sqrt{frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ C. $A=sqrt{frac{v_{1}^{2}x_{1}^{2}-v_{2}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ D. $A=sqrt{frac{v_{2}^{2}x_{2}^{2}-v_{1}^{2}x_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}.}$ |
Lời giải
Do $overrightarrow{x}bot overrightarrow{v}$ suy ra ${{left( frac{x}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{v}{-omega A} right)}^{2}}=1$
Ta có: $left{ begin{matrix}{{left( frac{{{x}_{1}}}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{{{v}_{1}}}{omega A} right)}^{2}}=1 \{{left( frac{{{x}_{2}}}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{{{v}_{2}}}{omega A} right)}^{2}}=1 \end{matrix} right.Leftrightarrow x_{1}^{2}+frac{v_{1}^{2}}{{{omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+frac{v_{2}^{2}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}Rightarrow {{omega }^{2}}=frac{v_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}=frac{v_{2}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}$
$Leftrightarrow v_{1}^{2}{{A}^{2}}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}={{A}^{2}}v_{2}^{2}-v_{1}^{2}v_{2}^{2}Rightarrow A=sqrt{frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}=sqrt{frac{v_{2}^{2}x_{1}^{2}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$. Chọn A
|
Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa theo trục Ox, tại thời điểm ${{t}_{1}}$vật có li độ là ${{x}_{1}}$=3 cm và vận tốc là ${{v}_{1}}=6pi sqrt{3} text{cm/s}$, tại thời điểm t2 vật có li độ là ${{x}_{2}}=3sqrt{2}text{cm}$và vận tốc là ${{v}_{2}}=6pi sqrt{2}cm/s$. Tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình dao động là: A. ${{v}_{max }}=12pi cm/s.$ B. ${{v}_{max }}=18pi cm/s.$ C. ${{v}_{max }}=24pi cm/s.$ D. ${{v}_{max }}=9pi cm/s.$ |
Lời giải
Ta có: $omega =sqrt{frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=2pi Rightarrow A=sqrt{x_{1}^{2}+frac{v_{1}^{2}}{{{omega }^{2}}}}=6Rightarrow {{v}_{max }}=12pi .$ Chọn A.
|
Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà khi vật có li độ $x=4sqrt{3}text{ cm}$thì vận tốc của vật là$v=8pi text{cm/s}$ và gia tốc là $-16{{pi }^{2}}sqrt{3}text{ cm/}{{text{s}}^{2}}.$ Chu kì và biên độ của dao động lần lượt là A. $T=1s;A=10cm.$ B. $T=2s;A=8cm.$ C. $T=1s;A=8cm.$ D. $T=1s;A=6cm.$ |
Lời giải
Ta có: $a=-{{omega }^{2}}xRightarrow {{omega }^{2}}=frac{a}{-x}=4{{pi }^{2}}Rightarrow omega =2pi Rightarrow T=frac{2pi }{omega }=1left( s right)$
Áp dụng hệ thức độc lập ta có: ${{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}Leftrightarrow left( 4sqrt{3} right)+frac{48{{pi }^{2}}}{4{{pi }^{2}}}={{A}^{2}}Rightarrow A=8left( cm right)$. Chọn C.
|
Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm có tốc độ là ${{v}_{1}}$thì gia tốc của nó là a1. Khi chất điểm có tốc độ là ${{v}_{2}}left( {{v}_{2}}ne {{v}_{1}} right)$ thì gia tốc của nó là a2. Tần số góc của chất điểm là A. $omega =frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}$ B. $omega =sqrt{frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}$ C. $omega =sqrt{frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$ D. $omega =sqrt{frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}}$ |
Lời giải
Do $overrightarrow{v}bot overrightarrow{a}Rightarrow left{ begin{matrix}frac{v_{1}^{2}}{{{omega }^{2}}}+frac{a_{1}^{2}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}} \frac{v_{2}^{2}}{{{omega }^{2}}}+frac{a_{2}^{2}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}} \end{matrix}Rightarrow {{omega }^{2}}=frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}Rightarrow omega =sqrt{frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}} right.$ . Chọn B
|
Ví dụ 11: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm / s. Khi chất điểm có tốc độ 16 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là 24 cm / s2. Biên độ dao động của chất điểm là A. A = 20 cm. B. A = 8 cm. C. A = 16 cm. D. A = 10 cm. |
Lời giải
Ta có: ${{v}_{1}}={{v}_{max }}=20Rightarrow {{a}_{1}}=0$ và ${{v}_{2}}=16;{{a}_{2}}=24.$
Mặt khác: $left{ begin{matrix}frac{v_{1}^{2}}{{{omega }^{2}}}+frac{a_{1}^{2}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}} \frac{v_{2}^{2}}{{{omega }^{2}}}+frac{a_{2}^{2}}{{{omega }^{4}}}={{A}^{2}} \end{matrix}Rightarrow {{omega }^{2}}=frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}=frac{{{left( 24 right)}^{2}}}{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=4Rightarrow omega =2 right.$
$Rightarrow A=frac{{{v}_{max }}}{omega }=frac{{{v}_{1}}}{4}=10left( cm right)$. Chọn D.
|
Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox . Khi chất điểm ở vị trí biên thì gia tốc của nó là $36text{ cm/}{{text{s}}^{2}}.$. Khi chất điểm cách vị trí cân bằng một khoảng 3 cm thì tốc độ của nó là $3sqrt{7}cm/s.$. Biên độ dao động của vật là. A. $A=6text{ cm}text{.}$ B. $A=6sqrt{7}text{ cm}text{.}$ C. $A=4text{ cm}text{.}$ D. $A=8text{ cm}text{.}$ |
Lời giải
Khi vật ở vị trí biên ta có: ${{a}_{max }}={{omega }^{2}}A=36$
Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}=9+frac{{{left( 3sqrt{7} right)}^{2}}}{frac{36}{A}}Leftrightarrow {{A}^{2}}=9+frac{7A}{4}Rightarrow A=4cm.$ Chọn C
|
Ví dụ 13: Một chất điểm dao động điều hòa trên một quỹ đạo là đoạn thẳng dài $ell =16text{ cm}$. Tại một thời điểm nào đó vận tốc của vật lần lượt là $40text{cm/s}$ và $4sqrt{3}text{ m/}{{text{s}}^{2}}.$Chu kì dao động của vật là: A. $T=frac{pi }{10}s$ B. $T=frac{pi }{5}s$ C. $T=frac{pi }{20}s$ D. $T=frac{3pi }{10}s$ |
Lời giải
Biên độ dao động của vật là: $A=frac{ell }{2}=8left( cm right).$
Ta có: $overrightarrow{v}bot overrightarrow{a}Rightarrow {{left( frac{v}{{{v}_{max }}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{a}_{max }}} right)}^{2}}=1Rightarrow {{left( frac{v}{omega A} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{omega }^{2}}A} right)}^{2}}=1$
$Leftrightarrow frac{{{40}^{2}}}{{{omega }^{2}}}+frac{{{left( 400sqrt{3} right)}^{2}}}{{{omega }^{4}}}=64xrightarrow{t=frac{1}{{{omega }^{2}}}}1600t+480000{{t}^{2}}=64Rightarrow t=frac{1}{100}Rightarrow omega =10rad/s.$
Do đó: $T=frac{2pi }{omega }=frac{pi }{5}s$. Chọn B.
|
Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 4 cm / s. Biết rằng khi chất điểm có tốc độ là 2 cm / s thì gia tốc của nó có độ lớn là $8sqrt{3}cm/{{s}^{2}}.$. Biên độ dao động của chất điểm là. A. 2 cm. B. 4 cm. C. 1 cm. D. $2sqrt{3}$ cm. |
Lời giải
Khi chất điểm ở vị trí cân bằng ta có: $v={{v}_{max }}=omega A=4cm/s.$
Do $overrightarrow{v}bot overrightarrow{a}Rightarrow {{left( frac{v}{{{v}_{max }}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{a}_{max }}} right)}^{2}}=1Leftrightarrow frac{{{2}^{2}}}{{{4}^{2}}}+frac{{{left( 8sqrt{3} right)}^{2}}}{a_{max }^{2}}=1Rightarrow {{a}_{max }}=16cm/{{s}^{2}}$
Mặt khác $left{ begin{matrix}{{v}_{max }}=omega A \{{a}_{max }}={{omega }^{2}}A \end{matrix}Rightarrow A=frac{v_{max }^{2}}{{{a}_{max }}} right.=1cm.$ Chọn C.
|
Ví dụ 15: :[ Trích đề thi chuyên ĐH Vinh 2017]. Một vật dao động điều hoà với vận tốc cực đại là ${{v}_{max }}$ tần số góc $omega $thì khi đi qua vị trí có li độ ${{x}_{1}}$sẽ có vận tốc ${{v}_{1}}$thoã mãn: A. $v_{1}^{2}={{omega }^{2}}x_{1}^{2}-v_{max }^{2}.$ B. $v_{1}^{2}={{omega }^{2}}x_{1}^{2}+v_{max }^{2}.$ C. $v_{1}^{2}=v_{max }^{2}-{{omega }^{2}}x_{1}^{2}.$ D. $v_{1}^{2}=v_{max }^{2}-frac{{{omega }^{2}}x_{1}^{2}.}{2}$ |
Lời giải
Ta có: $frac{v_{1}^{2}}{v_{max }^{2}}=1-frac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}}=1-frac{x_{1}^{2}}{{{left( frac{{{v}_{max }}}{omega } right)}^{2}}}=1-frac{{{omega }^{2}}x_{1}^{2}}{v_{max }^{2}}Rightarrow v_{1}^{2}=v_{max }^{2}-{{omega }^{2}}x_{1}^{2}$. Chọn C.
|
Ví dụ 16: Một vật dao động điều hoà với phương trình liên hệ v, x dạng $frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{v}^{2}}}{16}=4$, trong đó x (cm), v (cm/s). Biên độ và tần số góc dao động của vật là A. $2text{ cm; 2 rad/s}text{.}$ B. $text{4 cm; 2 rad/s}text{.}$ C. $text{4 cm; 4 rad/s}text{.}$ D. $text{2 cm; 4 rad/s}text{.}$ |
Lời giải
Ta có: $frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{{{v}^{2}}}{16}=4Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}}{16}+frac{{{v}^{2}}}{64}=1=frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+frac{{{v}^{2}}}{{{left( omega A right)}^{2}}}Rightarrow left{ begin{matrix}A=4cm \omega A=8Rightarrow omega =2rad/s \end{matrix} right.$ Chọn B.
|
Ví dụ 17: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng biên độ và chu kỳ lần lượt là ${{T}_{1}}$ và ${{T}_{2}}=2{{T}_{1}}$. Khi chúng có cùng ly độ thì tỉ số độ lớn vận tốc là A. $frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=frac{sqrt{2}}{2}$ B. $frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=2$ C. $frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=frac{1}{2}$ D. $frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=sqrt{2}$ |
Lời giải
Ta có: $v=omega sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ . Do đó $frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=frac{{{omega }_{1}}sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{omega }_{2}}sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=2$. Chọn B.
|
Ví dụ 18: [Trích đề thi Chuyên ĐH Vinh 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, với gia tốc cực đại là 320 cm / s2. Khi chất điểm đi qua vị trí gia tốc có độ lớn 160 cm / s2 thì tốc độ của nó là $40sqrt{3}text{cm/s}$. Biên độ dao động của chất điểm là: A. 20 cm. B. 8 cm. C. 10 cm. D. 16 cm. |
Lời giải
Ta có: Do $overrightarrow{a}bot overrightarrow{v}Rightarrow {{left( frac{a}{{{a}_{max }}} right)}^{2}}+{{left( frac{v}{{{v}_{max }}} right)}^{2}}=1Rightarrow {{v}_{max }}=80left( cm/s right)$
Khi đó $A=frac{v_{max }^{2}}{{{a}_{max }}}=20cm$. Chọn A
|
Ví dụ 19: [Trích đề thi thử sở GD{}ĐT Vĩnh Phúc 2017]. Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 20 cm. Ở vị trí mà li độ của chất điểm là 5 cm thì nó có tốc độ $5pi sqrt{3}cm/s$. Dao động của chất điểm có chu kì là: A. 1 s. B. 2 s. C. 0,2 s. D. 1,5 s. |
Lời giải
Ta có: ${{x}^{2}}+frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}}$. Trong đó $A=frac{ell }{2}=10cmRightarrow frac{{{v}^{2}}}{{{omega }^{2}}}=75Rightarrow omega =pi left( rad/s right).$
Do đó $T=frac{2pi }{omega }=2s.$Chọn B
|
Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm. Khi độ dời là 5 cm vật có tốc độ $v=10pi sqrt{3}left( cm/s right).$ Lấy ${{pi }^{2}}=10$. Chu kì dao động của vật là A. T = 0,5 (s). B. T = 1 (s). C. T = 1,5 (s). D. T = 2 (s). |
Lời giải
Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm
=> Biên độ dao động của vật là A = 10 cm
Khi vật có li độ x = 5cm và vận tốc $v=10pi sqrt{3}left( cm/s right).$
Áp dụng hệ thức độc lập ${{x}^{2}}+{{left( frac{v}{omega } right)}^{2}}={{A}^{2}}Leftrightarrow omega =sqrt{frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2pi left( rad/s right)$
Chu kỳ dao động của vật là: $T=frac{2pi }{omega }=1left( s right)$. Chọn B
|
Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm và chu kì T = 2(s). Lấy ${{pi }^{2}}=10$. Tại thời điểm vật có tốc độ $v=2,5pi left( cm/s right)$thì độ lớn gia tốc của vật là A. $a=25left( cm/{{s}^{2}} right)$ B. $a=25sqrt{2}left( cm/{{s}^{2}} right)$ C. $a=25sqrt{3}left( cm/{{s}^{2}} right)$ D. $a=50left( cm/{{s}^{2}} right)$ |
Lời giải
Tần số gốc của vật $omega =frac{2pi }{T}=pi left( rad/s right)$
Khi có vận tốc $v=2,5pi left( cm/s right)$. Áp dụng hệ thức độc lập ta có:
${{left( frac{v}{{{v}_{max }}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{a}_{max }}} right)}^{2}}=1Leftrightarrow {{left( frac{v}{omega A} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{{{omega }^{2}}A} right)}^{2}}=1Leftrightarrow a={{omega }^{2}}Asqrt{1-{{left( frac{v}{omega A} right)}^{2}}}=25sqrt{3}left( cm/{{s}^{2}} right)$ Chọn C.
|
Ví dụ 22: Một vật dao động điều hòa với tần số f = 2Hz. Khi pha dao động tại thời điểm t bằng $frac{pi }{3}$ thì gia tốc của chất điểm là $a=-8m/{{s}^{2}}$. Lấy ${{pi }^{2}}=10$. Tốc độ A. $20left( cm/s right).$ B. $20sqrt{3}left( cm/s right).$ C. $20sqrt{5}left( cm/s right).$ D. $20sqrt{10}left( cm/s right).$ |
Lời giải
Tần số góc của vật là: $omega =2pi f=4pi left( rad/s right)$
Pha dao động tại thời điểm t bằng $frac{pi }{3}Rightarrow x=Acos varphi =frac{A}{2}$
Gia tốc tại thời điếm này là $a=-{{omega }^{2}}x=-frac{{{omega }^{2}}A}{2}Leftrightarrow A=0,05m=5cm$
Tốc độ của vật khi qua li độ $x=2,5sqrt{2}left( cm right)$ là $v=omega sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=20sqrt{5}left( cm/s right)$. Chọn C.
|
Ví dụ 23: Một vật dao động điều hòa có phương trình $x=Acos left( omega t+varphi right)left( cm right)$. Tại thời điểm ${{t}_{1}}$vật có li độ x = 5cm, vận tốc$v=10pi sqrt{3}left( cm/s right)$. Tại thời điểm t2 vật có li độ $x=5sqrt{2}left( cm right)$và vận tốc $v=10pi sqrt{2}left( cm/s right)$. Biên độ dao động của vật là? A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm |
Lời giải
Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:
$Rightarrow left{ begin{matrix}x_{1}^{2}+frac{v_{1}^{2}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}} \x_{2}^{2}+frac{v_{2}^{2}}{{{omega }^{2}}}={{A}^{2}} \end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix}{{5}^{2}}+{{left( frac{10pi sqrt{3}}{omega } right)}^{2}}={{A}^{2}} \{{left( 5sqrt{2} right)}^{2}}+{{left( frac{10pi sqrt{2}}{omega } right)}^{2}}={{A}^{2}} \end{matrix} right. right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}A=10cm \omega =2pi \end{matrix} right.$. Chọn B
|
Ví dụ 24: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là${{x}_{1}}={{A}_{1}}cos left( omega t-frac{pi }{2} right)cm$; ${{x}_{2}}={{A}_{2}}cos left( omega t+frac{pi }{2} right)cm.$ Tại thời điểm ${{t}_{1}}$chất diểm thứ nhất có li độ 5 cm thì chất điểm thứ hai có li độ $-3sqrt{3}cm$. Tại thời điểm ${{t}_{2}}$chất điểm thứ nhất có li độ -2cm thì chất điểm thứ hai có li độ là A. $1,2sqrt{3}cm$ B. $-1,2sqrt{3}cm$ C. $1,6sqrt{3}cm$ D. $-1,6sqrt{3}cm$ |
Lời giải
x1 và x2 ngược pha ta có mối quan hệ:
$frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}=-frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}}Rightarrow frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ tỉ số li độ tức thời của 2 dao động luôn bằng hằng số
$Rightarrow {{left( frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} right)}_{t1}}={{left( frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} right)}_{t2}}Leftrightarrow {{left( frac{5}{-3sqrt{3}} right)}_{t1}}={{left( frac{-2}{{{x}_{2}}} right)}_{t2}}Rightarrow {{left( {{x}_{2}} right)}_{t2}}=1,2sqrt{3}text{ cm}text{.}$Chọn A.
|
Ví dụ 25: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, có phương trình dao động lần lượt là: ${{x}_{1}}={{A}_{1}}cos left( omega t+{{varphi }_{1}} right),{{x}_{2}}={{A}_{2}}cos left( omega t+{{varphi }_{2}} right).$. Cho biết $4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25c{{m}^{2}}.$ Khi chất điểm thứ nhất có li độ là ${{x}_{1}}=2text{ cm}text{.}$thì tốc độ của chất điểm thứ nhất là 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là A. 12 cm/s. B. 6 cm/s. C. 16 cm/s. D. 8 cm/s. |
Lời giải
Cách 1: Đạo hàm theo t hai vế pt: $4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25text{ c}{{text{m}}^{2}}left( 1 right)$, được:
$4.2{{x}_{1}}.{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}.{{v}_{2}}=0Leftrightarrow 4{{x}_{1}}{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0Rightarrow 4left| {{x}_{1}} right|.left| {{v}_{1}} right|=left| {{x}_{2}} right|left| {{v}_{2}} right|$ (2)
Khi ${{x}_{1}}=2text{ cm}$thay vào $left( 1 right)Rightarrow left| {{x}_{2}} right|=3$
Thay vào (2) ta được $4.2.6=3.left| {{v}_{2}} right|Rightarrow left| {{v}_{2}} right|=16text{ cm/s}text{.}$
Cách 2:Chia 2 vế (1) cho 25, được $frac{x_{1}^{2}}{frac{25}{4}}+frac{x_{2}^{2}}{25}=1Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ vuông pha $A_{1}^{2}=frac{25}{4};A_{2}^{2}=25$
Khi ${{x}_{1}}=2$ cm, thay vào $left( 1 right)Rightarrow left| {{x}_{2}} right|=3.$
Hai chất điểm dao động cùng tần số
$omega =frac{left| {{v}_{1}} right|}{sqrt{A_{1}^{2}-x_{1}^{2}}}=frac{left| {{v}_{2}} right|}{sqrt{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}}Leftrightarrow frac{6}{sqrt{frac{25}{4}-{{2}^{2}}}}=frac{left| {{v}_{2}} right|}{sqrt{25-{{3}^{2}}}}Rightarrow left| {{v}_{2}} right|=16text{ cm/s}text{.}$ Chọn C.
|
Ví dụ 26: Cho 2 vật dao động điều hòa có phương trình lần lượt là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}cos left( 40t+{{varphi }_{1}} right)cm$và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}cos left( 40t+{{varphi }_{2}} right)cm.$. Biết vận tốc của vật thứ hai và li độ vật thứ nhất tại mọi thời điểm liên hệ với nhau bởi công thức ${{v}_{2}}=-20{{x}_{1}}$, trong đó v có đơn vị cm/s, x có đơn vị cm. Khi li độ của vật thứ nhất là 5 cm thì li độ của vật thứ hai là $-2,5sqrt{3}cm$. Tổng biên độ của 2 vật ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}$là A. 15 cm B. 12,5 cm C. 13,5 cm D. 25 cm |
Lời giải
Do ${{v}_{2}}=-20{{x}_{1}}Rightarrow {{v}_{2}}$và x1 ngược pha: $frac{{{v}_{2}}}{omega {{A}_{2}}}=-frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}Rightarrow {{v}_{2}}=-frac{omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}{{x}_{1}}$
Đồng nhất hệ số: $frac{omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=20Rightarrow frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=frac{1}{2}text{ }left( 1 right)$
${{x}_{1}}$ ngược pha với ${{v}_{2}}$, mà ${{v}_{2}}$ vuông pha với ${{x}_{2}}Rightarrow {{x}_{1}}$vuông pha ${{x}_{2}}$:
${{left( frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}} right)}^{2}}+{{left( frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}} right)}^{2}}=1Rightarrow {{left( frac{5}{{{A}_{1}}} right)}^{2}}+{{left( frac{-2,5sqrt{3}}{{{A}_{2}}} right)}^{2}}=1text{ }left( 2 right).$
Từ (1) và (2) ta được: ${{A}_{1}}=5cm,text{ }{{text{A}}_{2}}=10text{ cm}Rightarrow {{text{A}}_{1}}+{{A}_{2}}=15text{ cm}text{.}$ Chọn A.
|
Ví dụ 27: Đồ thị biểu diễn liên hệ giữa vận tốc và li độ của một vật dao động điều hòa được cho như hình vẽ bên. Gia tốc cực đại của vật dao động điều hòa bằng A. $500text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ B. $750text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ C. $1500text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ D. $1000text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ |
Lời giải
Từ đồ thị tìm được A = 10 cm và khi x = 6 cm thì v = 80 cm/s.
Do tại cùng một thời điểm v,x vuông pha, nên ta có
${{left( frac{x}{A} right)}^{2}}+{{left( frac{v}{Aomega } right)}^{2}}=1Rightarrow {{left( frac{6}{10} right)}^{2}}+{{left( frac{80}{10omega } right)}^{2}}=1Rightarrow omega =10rad/s$
${{a}_{max }}={{omega }^{2}}A={{10}^{2}}.10=1000text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$. Chọn D.
|
Ví dụ 28: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên trục Ox. Cho ba điểm M, I, N trên Ox với I là trung điểm của đoạn MN. Gia tổc của chất điểm khi ngang qua vị trí M và I lần lượt là 20 cm/s2 và 10 cm/s2. Gia tốc chuyển động của chất điểm lúc ngang qua vị trí N là A. $15text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ B. $30text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ C. $5text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ D. $0text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$ |
Lời giải
${{v}_{0}}={{v}_{max }}text{ cm/}{{text{s}}^{2}};text{ }{{text{a}}_{N}}=10text{cm/}{{text{s}}^{2}}$ và có $a=-{{omega }^{2}}x$
I trung điểm MN: ${{x}_{1}}=frac{{{x}_{N}}+{{x}_{M}}}{2}Rightarrow {{x}_{N}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{M}};$
Nhân cả 2 vế cho $-{{omega }^{2}}:$$-{{omega }^{2}}{{x}_{N}}=2left( -{{omega }^{2}}{{x}_{1}} right)-left( -{{omega }^{2}}{{x}_{M}} right)$
$Leftrightarrow {{a}_{N}}=2{{a}_{1}}-{{a}_{M}}$
$Rightarrow {{a}_{N}}=2.10-20=0text{ cm/}{{text{s}}^{2}}$. Chọn D.