Bài tập chọn lọc cực trị khoảng cách liên quan đến mặt cầu có đáp án
Dưới đây là một số bài tập liên quan đến mặt cầu có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho ba điểm $Aleft( 0;1;1 right);Bleft( 0;0;-1 right);Cleft( 1;2;-1 right)Dleft( -1;-2;-3 right)$và mặt cầu (S) có phương trình ${{left( x-1 right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{left( z+1 right)}^{2}}=4$ . Tìm điểm D trên mặt phẳng (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu (S) có tâm $Ileft( 1;0;-1 right)$ và bán kính R = 2.
Ta có: ${{V}_{ABCD}}=frac{1}{3}dleft( D;left( ABC right) right).{{S}_{ABC}}$ lớn nhất $Leftrightarrow dleft( D;left( ABC right) right)$ lớn nhất
Gọi ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$ là đường kính của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng $left( ABC right)$
Khi đó$Leftrightarrow d{{left( D;left( ABC right) right)}_{max }}Leftrightarrow D$ trùng với 1 trong 2 điểm ${{D}_{1}}$ hoặc ${{D}_{2}}$
Đường thẳng ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$qua $Ileft( 1;0;-1 right)$ và có VTCP là $overrightarrow{n}=overrightarrow{{{n}_{left( ABC right)}}}=left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right]=left( -2;2;-1 right)$
Phương trình mặt phẳng$left( ABC right):2x-2y+z+1=0$.
Suy ra ${{D}_{1}}{{D}_{2}}:left{ begin{array} {} x=1+2t \ {} y=-2t \ {} z=-1+t \ end{array} right.$, tọa độ ${{D}_{1}};{{D}_{2}}$là nghiệm của hệ phương trình
${{D}_{1}}{{D}_{2}}:left{ begin{array} {} x=1+2t \ {} y=-2t \ {} z=-1+t \ {} {{left( x-1 right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{left( z+1 right)}^{2}}=4 \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} t=frac{2}{3} \ {} t=frac{-2}{3} \ end{array} right.Rightarrow {{D}_{1}}left( frac{7}{3};-frac{4}{3};-frac{1}{3} right);{{D}_{1}}left( -frac{1}{3};-frac{4}{3};-frac{5}{3} right)$
Do $dleft( {{D}_{1}};left( ABC right) right)>dleft( {{D}_{2}};left( ABC right) right)Rightarrow Dleft( frac{7}{3};-frac{4}{3};-frac{1}{3} right)$ là điểm cần tìm.
| .Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho điểm $Aleft( 1;2;-3 right)$và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng$(Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $left( P right)$ tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng $left( P right)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Độ dài MB là:
A. $MB=sqrt{5}.$ $MB=sqrt{5}.$ B. $MB=frac{sqrt{5}}{2}.$ C. $MB=frac{sqrt{41}}{2}.$ D. $MB=sqrt{41}.$ |
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua $Aleft( 1;2;-3 right)$và vuông góc $(Q)$ có phương trình là $left{ begin{array} {} x=1+3t \ {} y=2+4t \ {} z=-3-4t \ end{array} right..$
Vì $B=dcap left( P right)Rightarrow Bleft( 1+3t;2+4t;-3-4t right)in left( P right)$ suy ra $t=-1Rightarrow Bleft( -2;-2;1 right).$
Ta có $left{ begin{array} {} Min left( P right) \ {} MAbot MB \ end{array} right.Rightarrow M$thuộc đường tròn giao tuyến của $left( P right)$và mặt cầu $left( S right)$ (tâm I, đường kính AB).
Phương trình mặt cầu$left( S right)$ là ${{left( x+frac{1}{2} right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{left( z+1 right)}^{2}}=frac{41}{4}$ và $dleft( I;left( P right) right)=frac{left| 2.left( -frac{1}{2} right)+2.0+1+9 right|}{3}=3$.
Khi đó $BK=sqrt{I{{B}^{2}}-{{d}^{2}}}=frac{sqrt{5}}{2}$, với K là tâm đường tròn giao tuyến của $left( P right)$và $left( S right)$.
Để MB lớn nhất$Leftrightarrow $ MB là đường kính đường tròn giao tuyến$Rightarrow MB=2BK=sqrt{5}$. Chọn A.
| Bài tập 3: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho điểm $Aleft( 1;2;-3 right)$và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( 3;4;-4 right)$cắt $left( P right)$ tại điểm B. Điểm M thay đổi trong $left( P right)$sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc $90{}^circ $. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. $Jleft( -3;2;7 right).$ B. $Kleft( 3;0;15 right).$ C. $Hleft( -2;-1;3 right).$ D. $Ileft( -1;-2;3 right).$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng $d:frac{x-1}{3}=frac{y-2}{4}=frac{z+3}{-4}$. Vì $Bin dRightarrow Bleft( 3b+1;4b+2;-4b-3 right).$
Mà$B=dcap left( P right)$ suy ra $2left( 3b+1 right)+2left( 4b+2 right)+4b+3+9=0Leftrightarrow b=-1Rightarrow Bleft( -2;-2;1 right).$
Gọi là hình chiếu của A trên $left( P right)$$Rightarrow A{A}’:frac{x-1}{2}=frac{y-2}{2}=frac{z+3}{-1}Rightarrow {A}’left( -3;-2;-1 right).$
Theo bài ra, ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}Leftrightarrow M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}le A{{B}^{2}}-A{{{A}’}^{2}}={A}'{{B}^{2}}.$
Độ dài MB lớn nhất khi $Mequiv {A}’Rightarrow MB:left{ begin{array} {} x=-2+t \ {} y=-2 \ {} z=1+2t \ end{array} right.Rightarrow Ileft( -1;-2;3 right)in MB$. Chọn D.
| Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho mặt cầu $left( {{S}_{1}} right)$ có tâm $Ileft( 2;1;1 right)$ bán kính bằng 4 và mặt cầu $left( {{S}_{2}} right)$có tâm$J(2;1;5)$ bán kính bằng 2. $left( P right)$là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $left( {{S}_{1}} right),left( {{S}_{2}} right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến $left( P right)$. Giá trị M + m bằng
A. 8. B. $8sqrt{3}.$ C. 9 D. $sqrt{15}.$ |
Lời giải chi tiết:
Do $IJ=4>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử $IJ$cắt $left( P right)$tại M ta có $frac{MJ}{MI}=frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2Rightarrow $J là trung điểm của MI
Suy ra $Mleft( 2;1;9 right)$ . Khi đó $left( P right):aleft( x-2 right)+bleft( y-1 right)+cleft( z-9 right)=0left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 right)$
Mặt khác $dleft( I;left( P right) right)=4Leftrightarrow frac{left| 8c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4Leftrightarrow frac{left| 2c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$
Do đó $cne 0$ chọn $c=1Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$
Đặt $a=sqrt{3}sin t;b=sqrt{3}cot tRightarrow dleft( O;left( P right) right)=frac{left| 2a+b+9 right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{left| 2a+b+9 right|}{2}=frac{left| 2sqrt{3}sin t+sqrt{3}cot t+9 right|}{2}$
Mặt khác $begin{array} {} -sqrt{12+3}le 2sqrt{3}sin t+sqrt{3}cot tle sqrt{12+3}Rightarrow frac{9-sqrt{15}}{2}le {{d}_{0}}le frac{sqrt{15}+9}{2}Rightarrow M+m=9. \ {} \ end{array}$ Chọn C.
| Bài tập 5: (Đề thi thử nghiệm Bộ GD{}ĐT 2017) Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $left( S right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0$ . Giả sử điểm $Min left( P right)$và $Nin left( S right)$sao cho $overrightarrow{MN}$cùng phương với véc tơ $overrightarrow{u}left( 1;0;1 right)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
A. $MN=3.$ B. $MN=1+2sqrt{2}.$ C. $MN=3sqrt{2}.$ D. $MN=14.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $(P):x-2y+2z-3=0$và $left( S right):{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( y-2 right)}^{2}}+{{left( z-1 right)}^{2}}=1$
Gọi $overrightarrow{MN}=kleft( 1;0;1 right)Rightarrow sin left( widehat{MN;left( P right)} right)=cos left( overrightarrow{{{u}_{MN}}};overrightarrow{{{n}_{P}}} right)=frac{left| 1+2 right|}{sqrt{2}.sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{2}}Rightarrow widehat{MN;left( P right)}=45{}^circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $left( P right)$ khi đó $MNsin 45{}^circ =MH$
Do đó $MN=MHsqrt{2}$lớn nhất $Leftrightarrow M{{H}_{max }}=dleft( I;left( P right) right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{max }}=3sqrt{2}$ . Chọn C.
| Bài tập 6: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+y-z-3=0$ và hai điểm $Aleft( 1;1;1 right);Bleft( -3;-3;-3 right)$. Mặt cầu $left( S right)$ đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với $left( P right)$ tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
A. $R=4.$ B. $R=6.$ C. $R=frac{2sqrt{33}}{3}.$ D. $R=frac{2sqrt{11}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng AB là: $left{ begin{array} {} x=t \ {} y=t \ {} z=t \ end{array} right..$
Suy ra $Mleft( 3;3;3 right)$ là giao điểm của AB và mặt phẳng $left( P right)$khi đó MC là tiếp tuyến của mặt cầu $left( S right)$ .
Theo tính chất phương tích ta có: $MA.MB=M{{C}^{2}}Rightarrow M{{C}^{2}}=2sqrt{3}.6sqrt{3}=36$
Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm $Mleft( 3;3;3 right)$ bán kính $R=6.$ . Chọn B.
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+18=0$ , M là điểm di chuyển trên mặt phẳng $left( P right)$; N là điểm nằm trên tia OM sao cho $overrightarrow{OM}.overrightarrow{ON}=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ N đến mặt phẳng $left( P right)$.
|
Lời giải chi tiết:
Gọi $Nleft( a;b;c right)$ thì $ON=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
Nên $OM=frac{24}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}Rightarrow overrightarrow{OM}=frac{24}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.overrightarrow{ON}=frac{24}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}left( a;b;c right)$
Lại có $Min left( P right)Rightarrow 24left[ frac{a}{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)}+frac{2b}{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)}+frac{2c}{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)} right]+18=0$
$Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+frac{4a}{3}+frac{8b}{3}+frac{8c}{3}=0Rightarrow Nin left( S right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+frac{4x}{3}+frac{8y}{3}+frac{8z}{3}=0;$
$Rightarrow Ileft( frac{-2}{3};frac{-4}{3};frac{-4}{3} right);R=2$. Khi đó $d{{left( N;left( P right) right)}_{min }}=dleft( N;left( P right) right)-R=2$. Chọn C.
| Bài tập 8: Cho mặt cầu $left( S right):{{left( x-2 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}+{{left( z-3 right)}^{2}}=9$ . Điểm $Mleft( 1;0;1 right)$ di động trên $left( S right)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=left| 2x+2y-z+16 right|.$
A. 6. B. 3. C. 24. D. 2. |
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu $left( S right)$có tâm$Ileft( 2;-1;3 right)$ , bán kính R = 3. Xét mặt phẳng $left( P right):2x+2y-z+16=0$
Đường thẳng $Delta $ qua I và vuông góc với $left( P right)$ có phương trình $x=2+2t,y=-1+2t,z=3-t$
Cho $Delta cap left( S right)Rightarrow Delta $ và $left( S right)$ cắt nhau tại 2 điểm: $Aleft( 0;-3;4 right);Bleft( 4;1;2 right).$
Ta có $dleft( A,left( P right) right)=2,dleft( B,left( P right) right)=8$
Lấy $Mleft( x;y;z right)in left( S right)Rightarrow dleft( M;left( P right) right)=frac{left| 2x+2y-z+16 right|}{3}=frac{1}{3}P$
Ta có: $dleft( A;left( P right) right)le dleft( M;left( P right) right)le dleft( B;left( P right) right)Leftrightarrow 2le frac{P}{3}le 8Leftrightarrow 6le Ple 24$.
Vậy ${{P}_{min }}=6$ khi $x=0,y=-3,z=4$. Chọn A.
| Bài tập 9: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $Aleft( 0;1;1 right),Bleft( 3;0;-1 right),Cleft( 0;21;-19 right)$và mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y-1 right)}^{2}}+{{left( z-1 right)}^{2}}=1$ . $Mleft( a;b;c right)$ là điểm thuộc mặt cầu $left( S right)$sao cho biểu thức $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
A. $a+b+c=0.$ B. $a+b+c=12.$ C. $a+b+c=frac{12}{5}.$ D. $a+b+c=frac{14}{5}.$ |
Lời giải chi tiết:
Gọi $Ileft( x;y;z right)$ là điểm thỏa mãn $3overrightarrow{IA}+2overrightarrow{IB}+overrightarrow{IC}=overrightarrow{0}$
Khi đó: $left{ begin{array} {} 3left( 0-{{x}_{1}} right)+2left( 3-{{x}_{1}} right)+left( 0-{{x}_{1}} right)=0 \ {} 3left( 1-{{y}_{1}} right)+2left( 0-{{y}_{1}} right)+left( 21-{{y}_{1}} right)=0 \ {} 3left( 1-{{z}_{1}} right)+2left( -1-{{z}_{1}} right)+left( -19-{{z}_{1}} right)=0 \ end{array} right.Rightarrow Ileft( 1;4;-3 right)$
Ta có: $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3{{overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{overrightarrow{MB}}^{2}}+{{overrightarrow{MC}}^{2}}$
$Rightarrow T=3{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IA} right)}^{2}}+2{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IB} right)}^{2}}+{{left( overrightarrow{MC}+overrightarrow{IC} right)}^{2}}=6M{{I}^{2}}+2overrightarrow{MI}left( 3overrightarrow{IA}+2overrightarrow{IB}+overrightarrow{IC} right)+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
$=6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$nhỏ nhất $Leftrightarrow $MI nhỏ nhất.
Mặt cầu $left( S right)$ có tâm $Kleft( 1;1;1 right)$ $Rightarrow I:left{ begin{array} {} x=1 \ {} y=1+3t \ {} z=1-4t \ end{array} right.$. Cho $KIcap left( S right)Rightarrow left[ begin{array} {} {{M}_{1}}left( 1;frac{8}{5};frac{1}{5} right) \ {} {{M}_{2}}left( 1;frac{2}{5};frac{9}{5} right) \ end{array} right.$
Tính ${{M}_{1}}I=4;{{M}_{2}}I=6Rightarrow {{M}_{1}}$ là điểm thỏa mãn yêu cầu nên $a+b+c=frac{14}{5}.$ Chọn D.
Bài tập 10: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $Aleft( a;0;0 right),Bleft( 0;b;0 right),Cleft( 0;0;c right)$với $age 4,bge 5,cge 6$ và mặt cầu $left( S right)$ có bán kính bằng $frac{3sqrt{10}}{2}$ ngoại tiếp tứ diện OABC. Khi tổng $OA+OB+OC$ đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu $left( S right)$ tiếp xúc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
|
Lời giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O.ABC$ là $R=frac{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}=frac{3sqrt{10}}{2}Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90.$
Ta có $P=OA+OB+OC=a+b+c$. Đặt $m=a-4ge 0,n=b-5ge 0,p=c-6ge 0.$
Khi đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{left( m+4 right)}^{2}}+{{left( n+5 right)}^{2}}+{{left( p+6 right)}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p+77=90.$
$T={{left( m+n+p right)}^{2}}+12left( m+n+p right)={{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p+2left( mn+np+pm+2m+n right).$
Vì ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p=13$và $m,n,pge 0$nên ${{left( m+n+p right)}^{2}}+12left( m+n+p right)-13ge 0.$
$Leftrightarrow m+n+pge 1Leftrightarrow a+b+cge 16Rightarrow {{left{ OA+OB+OC right}}_{min }}=16.$ Dấu “ = ” xảy ra $Leftrightarrow a=4,b=5,c=7$.
Tâm của mặt cầu $left( S right)$ là $Ileft( frac{a}{2};frac{b}{2};frac{c}{2} right)Rightarrow Ileft( 2;frac{5}{2};frac{7}{2} right)Rightarrow dleft( I;{{left( P right)}_{D}} right)=frac{3sqrt{10}}{2}.$Chọn D.