Bài tập nguyên hàm từng phần có đáp án chi tiết siêu hay.
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm từng phần có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ${{I}_{1}}=int{xsin xdx}$ b) ${{I}_{2}}=int{x{{e}^{3x}}dx}$ c) ${{I}_{3}}=int{{{x}^{2}}cos xdx}$ d) ${{I}_{4}}=int{xln xdx}$ |
Lời giải chi tiết:
a) ${{I}_{1}}=int{xsin xdx}$
- Cách 1: Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} sin xdx=dv \ end{array} right.overset{{}}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=-cos x \ end{array} right.$
$xrightarrow{{}}{{I}_{1}}=int{xsin xdx=-xcos x+int{cos xdx=-xcos x+sin x+C.}}$
- Cách 2: ${{I}_{1}}=int{xsin xdx}=-int{xdleft( cos x right)=-left[ xcos x-int{cos xdx} right]=-xcos x+sin x+C}$
b) ${{I}_{2}}=int{x{{e}^{3x}}dx}$
- Cách 1: Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} {{e}^{3x}}dx=dv \ end{array} right.overset{{}}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=frac{1}{3}{{e}^{3x}} \ end{array} right.$
$xrightarrow{{}}{{I}_{2}}=int{x{{e}^{3x}}dx=frac{1}{3}x{{e}^{3x}}-frac{1}{3}int{{{e}^{3x}}dx}=frac{1}{3}x{{e}^{3x}}-frac{1}{9}int{{{e}^{3x}}dleft( 3x right)=frac{1}{3}x{{e}^{3x}}-frac{1}{9}{{e}^{3x}}+C}}$
${{I}_{2}}=int{x{{e}^{3x}}dx}=frac{1}{3}int{xdleft( {{e}^{3x}} right)=frac{1}{3}left[ x{{e}^{3x}}-int{{{e}^{3x}}dx} right]=frac{1}{3}left[ x{{e}^{3x}}-frac{1}{3}int{{{e}^{3x}}dleft( 3x right)} right]=frac{1}{3}left( x{{e}^{3x}}-frac{1}{3}{{e}^{3x}} right)}+C$
c) ${{I}_{3}}=int{{{x}^{2}}cos xdx}$
- Cách 1: Đặt $left{ begin{array} {} u={{x}^{2}} \ {} cos xdx=dv \ end{array} right.overset{{}}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} du=2xdx \ {} v=sin x \ end{array} right.$
Khi đó ${{I}_{3}}=int{{{x}^{2}}cos xdx={{x}^{2}}sin x-int{2xsin xdx={{x}^{2}}sin x-2J}}$
Xét $J=int{xsin xdx.}$ Đặt
$left{ begin{array} {} u=x \ {} sin xdx=dvoverset{{}}{longleftrightarrow} \ end{array} right.left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=-cos x \ end{array} right.xrightarrow{{}}J=-xcos x+int{cos xdx=-xcos x+sin x}$
$xrightarrow{{}}{{I}_{3}}={{x}^{2}}sin x-2left( -xcos x+sin x right)+C.$
- Cách 2: ${{I}_{3}}=int{{{x}^{2}}cos xdx=int{{{x}^{2}}dleft( sin x right)={{x}^{2}}sin x-int{sin xdleft( {{x}^{2}} right)={{x}^{2}}sin x-int{2xsin xdx}}}}$
$={{x}^{2}}sin x+2int{xdleft( cos x right)={{x}^{2}}sin x}+2xcos x-2int{cos xdx={{x}^{2}}sin x+2xcos x-2sin x+C.}$
d) ${{I}_{4}}=int{xln xdx}$
- Cách 1: Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} xdx=dv \ end{array} right.overset{{}}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=frac{{{x}^{2}}}{2} \ end{array} right.xrightarrow{{}}{{I}_{4}}=int{xln xdx=frac{{{x}^{2}}}{2}ln x-int{frac{{{x}^{2}}}{2}.frac{dx}{x}=frac{{{x}^{2}}}{2}ln x-frac{{{x}^{2}}}{4}+C.}}$
- Cách 2: Ta có:
${{I}_{4}}=int{xln xdx=int{ln xdleft( frac{{{x}^{2}}}{2} right)=frac{{{x}^{2}}}{2}ln x-int{frac{{{x}^{2}}}{2}dleft( ln x right)=frac{{{x}^{2}}}{2}ln x-int{frac{{{x}^{2}}}{2}frac{dx}{x}=frac{{{x}^{2}}}{2}}ln x-frac{{{x}^{2}}}{4}}+C.}}$
| Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ${{I}_{5}}=int{{{x}^{2}}ln xdx}$ b) ${{I}_{6}}=int{x{{ln }^{2}}left( x+1 right)dx}$ c) ${{I}_{7}}=int{ln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)dx}$ d) ${{I}_{8}}=int{{{e}^{x}}sin xdx}$ |
Lời giải chi tiết:
a) ${{I}_{5}}=int{{{x}^{2}}ln xdx}$
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} {{x}^{2}}dx=dv \ end{array} right.overset{{}}{longleftrightarrow}left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=frac{{{x}^{3}}}{3} \ end{array} right.xrightarrow{{}}{{I}_{5}}=int{{{x}^{2}}ln xdx=frac{{{x}^{3}}}{3}ln -int{frac{{{x}^{3}}}{3}.frac{dx}{x}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-frac{{{x}^{3}}}{9}+C.}}$
Ta có ${{I}_{5}}=int{{{x}^{2}}ln xdx=int{ln xdleft( frac{{{x}^{3}}}{3} right)=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-int{frac{{{x}^{3}}}{3}dleft( ln x right)=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x}-int{frac{{{x}^{3}}}{3}frac{dx}{x}}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln x-frac{{{x}^{3}}}{9}+C.}}$
b) ${{I}_{6}}=int{x{{ln }^{2}}left( x+1 right)dx}$
Ta có ${{I}_{6}}=int{x{{ln }^{2}}left( x+1 right)dx}=int{{{ln }^{2}}left( x+1 right)dleft( frac{{{x}^{^{2}}}}{2} right)=frac{{{x}^{2}}}{2}{{ln }^{2}}left( x+1 right)-int{frac{{{x}^{2}}}{2}dleft( {{ln }^{2}}left( x+1 right) right)}}$
$=frac{{{x}^{2}}}{2}{{ln }^{2}}left( x+1 right)-int{frac{{{x}^{2}}}{2}.frac{2ln left( x+1 right)}{x+1}dx=frac{{{x}^{2}}}{2}{{ln }^{2}}left( x+1 right)-int{frac{{{x}^{2}}}{x+1}ln left( x+1 right)dx=frac{{{x}^{2}}}{2}{{ln }^{2}}left( x+1 right)-J}}$
Xét $J=int{frac{{{x}^{2}}}{x+1}ln left( x+1 right)dx=int{frac{left( {{x}^{2}}-1 right)+1}{x+1}ln left( x+1 right)dx=int{left( x-1+frac{1}{x+1} right)ln left( x+1 right)dx=}}}$
$=int{left( x-1 right)ln left( x+1 right)dx+int{ln left( x+1 right)frac{dx}{x+1}=int{ln left( x+1 right)dleft( frac{{{x}^{2}}}{2}-x right)+int{ln left( x+1 right)dleft( ln left( x+1 right) right)}=}}}$
$=left( frac{{{x}^{2}}}{2}-x right)ln left( x+1 right)-int{left( frac{{{x}^{2}}}{2}-x right)dleft( ln left( x+1 right) right)+frac{{{ln }^{2}}left( x+1 right)}{2}=left( frac{{{x}^{2}}}{2}-x right)}ln left( x+1 right)-frac{1}{2}int{frac{{{x}^{2}}-2x}{x+1}dx+frac{{{ln }^{2}}left( x+1 right)}{2}}$
Xét $K=int{frac{{{x}^{2}}-2x}{x+1}dx}=int{left( x-3+frac{3}{x+1} right)dx}=frac{{{x}^{2}}}{2}-3x+3ln left| x+1 right|$
$xrightarrow{{}}J=left( frac{{{x}^{2}}}{2}-x right)ln left( x+1 right)-frac{1}{2}left( frac{{{x}^{2}}}{2}-3x+3ln left| x+1 right| right)+frac{{{ln }^{2}}left( x+1 right)}{2}+C.$
Từ đó ta được ${{I}_{6}}=frac{{{x}^{2}}{{ln }^{2}}left( x+1 right)}{2}-left( frac{{{x}^{2}}}{2}-x right)ln left( x+1 right)+frac{1}{2}left( frac{{{x}^{2}}}{2}-3x+3ln left| x+1 right| right)-frac{{{ln }^{2}}left( x+1 right)}{2}+C.$
c) ${{I}_{7}}=int{ln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)dx}$
Ngầm hiểu $u=ln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right);v=x$ ta có
${{I}_{7}}=xln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)-int{xdleft[ ln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right) right]=xln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)-int{frac{1+frac{x}{sqrt{1+{{x}^{2}}}}}{x+sqrt{1+{{x}^{2}}}}xdx}}$
$=xln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)-int{frac{xdx}{sqrt{1+{{x}^{2}}}}=xln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)-frac{1}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}}+1 right)}{sqrt{1+{{x}^{2}}}}}=xln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)-sqrt{1+{{x}^{2}}}}+C.$
Vậy ${{I}_{7}}=xln left( x+sqrt{1+{{x}^{2}}} right)-sqrt{1+{{x}^{2}}}+C.$
d) ${{I}_{8}}=int{{{e}^{x}}sin xdx}$
${{I}_{8}}=int{{{e}^{x}}sin xdx=int{sin xdleft( {{e}^{x}} right)={{e}^{x}}sin x-int{{{e}^{x}}dleft( sin x right)={{e}^{x}}sin x-int{{{e}^{x}}cos xdx={{e}^{x}}sin x-int{cos xdleft( {{e}^{x}} right)}}}}}$
$={{e}^{x}}sin x-int{cos xdleft( {{e}^{x}} right)}={{e}^{x}}sin x-left[ {{e}^{x}}cos x-int{{{e}^{x}}dleft( cos x right)} right]={{e}^{x}}sin x-left[ {{e}^{x}}cos x+int{{{e}^{x}}sin xdx} right]$
$={{e}^{x}}sin x-left[ {{e}^{x}}cos x+{{I}_{8}} right]={{e}^{x}}sin x-{{e}^{x}}cos x-{{I}_{8}}xrightarrow{{}}{{I}_{8}}=frac{{{e}^{x}}sin x-{{e}^{x}}cos x}{2}+C.$
Nhận xét: Trong nguyên hàm ${{I}_{8}}$ chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng ta đều nhất quán đặt $u$ là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được.
| Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau:
a) ${{I}_{9}}=int{frac{ln left( x-1 right)}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}dx}$ b) ${{I}_{10}}=int{frac{ln left( 2x+1 right)}{{{left( 1-3x right)}^{2}}}}dx$ c) ${{I}_{11}}=int{x.sin x.{{cos }^{2}}xdx}$ d) ${{I}_{12}}=int{frac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{{{left( x+2 right)}^{2}}}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( x-1 right) \ {} dv=frac{1}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{1}{x-1}dx \ {} v=frac{-1}{2left( 2x+1 right)} \ end{array} right..$ Khi đó: ${{I}_{9}}=frac{-ln left( x-1 right)}{2left( 2x+1 right)}+int{frac{dx}{2left( 2x+1 right)left( x-1 right)}}$
$frac{-ln left( x-1 right)}{2left( 2x+1 right)}+frac{1}{6}int{left( frac{1}{x-1}-frac{2}{2x+1} right)dx=frac{-ln left( x-1 right)}{2left( 2x+1 right)}+frac{1}{6}ln left| frac{x-1}{2x+1} right|+C}$
b) Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( 2x+1 right) \ {} dv=frac{1}{{{left( 1-3x right)}^{2}}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{1}{2x+1}dx \ {} v=frac{-1}{3left( 3x-1 right)} \ end{array} right..$ Khi đó: ${{I}_{10}}=frac{-ln left( 2x+1 right)}{3left( 3x-1 right)}+int{frac{dx}{3left( 2x+1 right)left( 3x-1 right)}}$
$-frac{ln left( 2x+1 right)}{3left( 3x-1 right)}+frac{1}{15}int{left( frac{3}{3x-1}-frac{2}{2x+1} right)dx=frac{-ln left( 2x+1 right)}{3left( 3x-1 right)}+frac{1}{15}ln left| frac{3x-1}{2x+1} right|+C}$
c) Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv=sin x{{cos }^{2}}xdx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=frac{-{{cos }^{3}}x}{3} \ end{array} right..$ Khi đó ${{I}_{11}}=frac{-x{{cos }^{3}}x}{3}+frac{1}{3}int{{{cos }^{3}}xdx}$
$=frac{-x{{cos }^{3}}x}{3}+frac{1}{3}int{frac{cos 3x+3cos x}{4}dx=frac{-x{{cos }^{3}}x}{3}+frac{sin 3x}{36}+frac{sin x}{4}+C}$
d) Đặt $left{ begin{array} {} u={{x}^{2}}{{e}^{x}} \ {} dv=frac{dx}{{{left( x+2 right)}^{2}}} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=xleft( x+2 right){{e}^{x}}dx \ {} v=frac{-1}{x+2} \ end{array} right.$
$Rightarrow {{I}_{12}}=frac{-{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{x+2}+int{x{{e}^{x}}dx}=frac{-{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{x+2}+int{x{{e}^{x}}dx}=-frac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{x+2}+x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C.$
| Bài tập 4: Tính các nguyên hàm sau:
a) ${{I}_{13}}=int{xln left( {{x}^{2}}+1 right)dx}$ b) ${{I}_{14}}=int{x{{tan }^{2}}x}dx$ c) ${{I}_{15}}=int{{{x}^{2}}ln left( {{x}^{2}}+1 right)dx}$ d) ${{I}_{16}}=int{sqrt{x}sin sqrt{x}dx}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{I}_{13}}=int{xln left( {{x}^{2}}+1 right)dx.}$ Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( 1+{{x}^{2}} right) \ {} xdx=dv \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{2xdx}{1+{{x}^{2}}} \ {} v=frac{{{x}^{2}}+1}{2} \ end{array} right.$
$Rightarrow {{I}_{13}}=int{xln left( 1+{{x}^{2}} right)dx}=frac{left( {{x}^{2}}+1 right)}{2}ln left( 1+{{x}^{2}} right)-int{frac{left( {{x}^{2}}+1 right)}{2}}frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx=frac{left( {{x}^{2}}+1 right)}{2}ln left( 1+{{x}^{2}} right)-int{xdx}$
$Rightarrow {{I}_{13}}=frac{left( {{x}^{2}}+1 right)}{2}ln left( 1+{{x}^{2}} right)-frac{{{x}^{2}}}{2}+C=frac{left( {{x}^{2}}+1 right)ln left( 1+{{x}^{2}} right)-{{x}^{2}}}{2}+C$
b) ${{I}_{14}}=int{x{{tan }^{2}}xdx=int{xleft( 1-frac{1}{{{cos }^{2}}x} right)dx=int{xdx}-int{frac{x}{{{cos }^{2}}x}}dx}}$
Ta đi tính $J=int{frac{x}{{{cos }^{2}}x}dx.}$ Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} frac{1}{{{cos }^{2}}x}dx=dv \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=tan x \ end{array} right.$
$Rightarrow J=xtan x-int{tan xdx=xtan x-int{frac{sin xdx}{cos x}=xtan x+int{frac{dleft( cos x right)}{cos x}}=xtan x+ln left| cos x right|+C}}$
$Rightarrow {{I}_{14}}=frac{{{x}^{2}}}{2}+xtan x+ln left| cos x right|+C$
c) ${{I}_{15}}=int{{{x}^{2}}ln left( {{x}^{2}}+1 right)dx.}$ Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( 1+{{x}^{2}} right) \ {} {{x}^{2}}dx=dv \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{2xdx}{1+{{x}^{2}}} \ {} v=frac{{{x}^{3}}}{3} \ end{array} right.$
$Rightarrow {{I}_{15}}=int{{{x}^{2}}ln left( {{x}^{2}}+1 right)dx=frac{{{x}^{3}}}{3}ln left( {{x}^{2}}+1 right)-int{frac{{{x}^{3}}}{3}.frac{2x}{{{x}^{2}}+1}dx}=frac{{{x}^{3}}}{3}ln left( {{x}^{2}}+1 right)-frac{2}{3}int{frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}dx}}$
Ta đi tính $K=int{frac{{{x}^{4}}}{1+{{x}^{2}}}}dx$
Đặt $x=tan tRightarrow dx=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}$ và ${{x}^{2}}+1={{tan }^{2}}x+1=frac{1}{{{cos }^{2}}t}Rightarrow K=int{frac{{{x}^{4}}}{1+{{x}^{2}}}dx=arctan x+frac{{{x}^{3}}-3x}{3}+C}$
Do đó: ${{I}_{15}}=int{{{x}^{2}}ln left( {{x}^{2}}+1 right)dx=frac{{{x}^{3}}ln left( {{x}^{2}}+1 right)}{3}+frac{2}{3}left( arctan x+frac{{{x}^{3}}-3x}{3} right)+C}$
d) ${{I}_{16}}=int{sqrt{x}sin sqrt{x}dx}$
Đặt $sqrt{x}=tRightarrow dt=frac{1}{2}sqrt{x}dxRightarrow 2dt=dxRightarrow {{I}_{16}}=int{2tsin tdt.}$ Đặt $left{ begin{array} {} u=t \ {} sin tdt=dv \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=dt \ {} v=-cos t \ end{array} right.$
$Rightarrow {{I}_{16}}=int{2tsin tdt=2left[ -tcos t+int{cos t} right]=-2tcos t+2sin t+CRightarrow {{I}_{16}}=-2sqrt{x}cos sqrt{x}}+2sin sqrt{x}+C$
| Bài tập 5: Tính nguyên hàm $I=int{ln left( x+2 right)dx.}$
A. $I=xln left( x+2 right)-x+C.$ B. $I=left( x+2 right)ln left( x+2 right)-x+C.$ C. $I=xln left( x+2 right)+frac{1}{x+2}+C.$ D. $I=xln left( x+2 right)-frac{1}{x+2}+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( x+2 right) \ {} dv=dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x+2} \ {} v=x+2 \ end{array} right.$ (Ta có thể chọn $v=x;v=x+1…,$ tuy nhiên ta nên chọn $v=x+2$ để tính toán dễ dàng hơn).
Khi đó $I=left( x+2 right)ln left( x+2 right)-int{dx}=left( x+2 right)ln left( x+2 right)-x+C.$ Chọn B.
| Bài tập 6: Tính nguyên hàm $I=int{xln left( x-1 right)dx.}$
A. $I=frac{{{x}^{2}}}{2}ln left( x-1 right)-frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{x}{2}+C.$ B. $I=frac{{{x}^{2}}-1}{2}ln left( x-1 right)-frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{x}{2}+C.$ C. $I=frac{{{x}^{2}}-1}{2}ln left( x-1 right)+frac{{{x}^{2}}}{4}+frac{x}{2}+C.$ D. $I=frac{{{x}^{2}}-1}{2}ln left( x-1 right)-frac{{{x}^{2}}}{4}-frac{x}{2}+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln left( x-1 right) \ {} dv=xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x-1} \ {} v=frac{{{x}^{2}}}{2}-frac{1}{2}=frac{{{x}^{2}}-1}{2}=frac{left( x-1 right)left( x+1 right)}{2} \ end{array} right.$
Khi đó $I=frac{{{x}^{2}}-1}{2}ln left( x-1 right)-int{frac{x+1}{2}dx=frac{{{x}^{2}}-1}{2}ln left( x-1 right)-frac{{{x}^{2}}}{4}-frac{x}{2}+C.}$ Chọn D.
| Bài tập 7: Tính nguyên hàm $I=int{left( x-2 right){{e}^{x}}dx.}$
A. $I=left( x-3 right){{e}^{x}}+C.$ B. $I=left( x-1 right){{e}^{x}}+C.$ C. $I=x{{e}^{x}}+C.$ D. $I=left( x+1 right){{e}^{x}}+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $left{ begin{array} {} u=x-2 \ {} dv={{e}^{x}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v={{e}^{x}} \ end{array} right.Rightarrow I=left( x-2 right){{e}^{x}}-int{{{e}^{x}}dx}=left( x-2 right){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=left( x-3 right){{e}^{x}}+C.$ Chọn A.
| Bài tập 8: Giả sử $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=left( 2x+1 right)sin x.$
Biết $Fleft( 0 right)=3,$ tìm $Fleft( x right).$ A. $Fleft( x right)=left( 2x+1 right)cos x+2sin x+2.$ B. $Fleft( x right)=-left( 2x+1 right)cos x+2sin x+4.$ C. $Fleft( x right)=left( 2x+1 right)cos x-2sin x+2.$ D. $Fleft( x right)=-left( 2x+1 right)cos x-2sin x+4.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $Fleft( x right)=int{left( 2x+1 right)sin xdx.}$ Đặt $left{ begin{array} {} u=2x+1 \ {} dv=sin xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=2dx \ {} v=-cos x \ end{array} right.$
$Rightarrow Fleft( x right)=-left( 2x+1 right)cos x+int{2sin xdx=-left( 2x+1 right)cos x+2sin x+C}$
Mặt khác $Fleft( 0 right)=-1+C=3Rightarrow C=4Rightarrow Fleft( x right)=-left( 2x+1 right)cos x+2sin x+4.$ Chọn B.
| Bài tập 9: Tìm nguyên hàm $I=int{frac{ln xdx}{{{left( x+1 right)}^{2}}}}.$
A. $I=frac{ln x}{x+1}-ln left| x+1 right|+C.$ B. $frac{2xln x}{x+1}-ln left| x+1 right|+C.$ C. $I=frac{xln x}{x+1}-ln left| x+1 right|+C.$ D. $I=frac{xln x}{x+1}+ln left| x+1 right|+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=frac{dx}{{{left( x+1 right)}^{2}}} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=-frac{1}{x+1}+1=frac{x}{x+1} \ end{array} right.Rightarrow I=frac{xln x}{x+1}-int{frac{dx}{x+1}=frac{xln x}{x+1}-ln left| x+1 right|+C.}$ Chọn C.
| Bài tập 10: Tìm nguyên hàm $I=int{left( 2-x right)cos xdx}.$
A. $I=left( 2-x right)sin x+cos x+C.$ B. $I=left( 2-x right)sin x-cos x+C.$ C. $I=left( 2-x right)cos x-sin x+C.$ D. $I=left( 2-x right)cos x+sin x+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $left{ begin{array} {} u=2-x \ {} dv=cos xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=-dx \ {} v=sin x \ end{array} right.Rightarrow I=left( 2-x right)sin x+int{sin xdx=left( 2-x right)sin x-cos x+C.}$ Chọn B.
| Bài tập 11: Tìm nguyên hàm $I=int{left( x+1 right){{.3}^{x}}dx}$ ta được:
A. $I=frac{x{{.3}^{x}}}{ln 3}+C.$ B. $I=frac{left( x+1 right){{3}^{x}}}{ln 3}+frac{{{3}^{x}}}{{{ln }^{2}}3}+C.$ C. $I=frac{left( x+1 right){{3}^{x}}}{ln 3}-{{3}^{x}}+C.$ D. $I=frac{left( x+1 right){{3}^{x}}}{ln 3}-frac{{{3}^{x}}}{{{ln }^{2}}3}+C.$ |
Lời giải chi tiết:
Đặt $left{ begin{array} {} u=x+1 \ {} dv={{3}^{x}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=frac{{{3}^{x}}}{ln 3} \ end{array} right.Rightarrow I=frac{left( x+1 right){{3}^{x}}}{ln 3}-int{frac{{{3}^{x}}dx}{ln 3}}Rightarrow I=frac{left( x+1 right){{3}^{x}}}{ln 3}-frac{{{3}^{x}}}{{{ln }^{2}}3}+C.$ Chọn D.
| Bài tập 12: Cho nguyên hàm $int{x{{cos }^{2}}xdx=m.{{x}^{2}}+n.xsin 2x+p.cos 2x+C}$ trong đó $m;n,p;Cin mathbb{R}.$ Tính giá trị của $P=m+n+p.$
A. $P=frac{3}{4}.$ B. $P=frac{5}{4}.$ C. $P=frac{3}{2}.$ D. $P=frac{5}{8}.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $I=int{x}frac{1+cos 2x}{2}dx=frac{1}{2}int{xdx}+frac{1}{2}int{xcos 2xdx}$
Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv=cos 2xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=frac{sin 2x}{2} \ end{array} right.Rightarrow int{xcos 2xdx=frac{xsin 2x}{2}-int{frac{sin 2xdx}{2}=frac{xsin 2x}{2}+frac{cos 2x}{4}+C}}$
$Rightarrow I=frac{1}{4}{{x}^{2}}+frac{1}{4}xsin 2x+frac{1}{8}cos 2x+CRightarrow m+n+p=frac{5}{8}.$ Chọn D.
| Ví dụ 13: Cho $Fleft( x right)=frac{1}{{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $frac{fleft( x right)}{{{cos }^{2}}x}.$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f’left( x right)tan x$
A. $int{f’left( x right)tan xdx=-frac{x+sin 2x}{{{x}^{3}}}+C.}$ B. $int{f’left( x right)tan xdx=frac{x+sin 2x}{{{x}^{3}}}+C.}$ C. $int{f’left( x right)tan xdx=-frac{x+{{cos }^{2}}x}{{{x}^{3}}}+C.}$ D. $int{f’left( x right)tan xdx=frac{x+{{cos }^{2}}x}{{{x}^{3}}}+C.}$ |
Lời giải:
Tính nguyên hàm $I=int{f’left( x right)tan xdx}$
Đặt $left{ begin{array} {} u=tan x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{{{cos }^{2}}x} \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=fleft( x right).tan x-int{frac{fleft( x right)dx}{{{cos }^{2}}x}=fleft( x right)tan x-frac{1}{{{x}^{2}}}+C}$
Mặt khác $frac{fleft( x right)}{{{cos }^{2}}x}=F’left( x right)=frac{-2x}{{{x}^{4}}}=frac{-2}{{{x}^{3}}}Rightarrow fleft( x right)=frac{-2{{cos }^{2}}x}{{{x}^{3}}}$
Do đó $I=frac{-2{{cos }^{2}}x}{{{x}^{3}}}.tan x-frac{1}{{{x}^{2}}}+C=frac{-sin 2x}{{{x}^{3}}}-frac{1}{{{x}^{2}}}+C.$ Chọn A.
| Ví dụ 14: Cho $Fleft( x right)=left( 1-frac{{{x}^{2}}}{2} right)cos x+xsin x$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)sin x.$ Nguyên hàm của hàm số $f’left( x right)cos x$ là:
A. $cos x-xsin x+C.$ B. $sin x+xcos x+C.$ C. $cos x+xsin x+C.$ D. $sin x-xcos x+C.$ |
Lời giải:
Tính nguyên hàm $I=int{f’left( x right)cos xdx}$
Đặt $left{ begin{array} {} u=cos x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=-sin xdx \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$
$Rightarrow I=fleft( x right).cos x+int{fleft( x right)sin xdx=fleft( x right)cos x+left( 1-frac{{{x}^{2}}}{2} right)cos x+}xsin x$
Mặt khác $F’left( x right)=-xcos x-left( 1-frac{{{x}^{2}}}{2} right)sin x+sin x+xcos x=frac{{{x}^{2}}sin x}{2}=fleft( x right)sin x$
Do đó $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}}{2}Rightarrow I=cos x+xsin x.$ Chọn C.
| Ví dụ 15: Cho $Fleft( x right)={{e}^{x}}+x$ là một nguyên hàm của hàm số $frac{fleft( x right)}{x}.$
Tìm nguyên hàm của hàm số $f’left( x right)ln x.$ A. $xleft( {{e}^{x}}+x right)ln x-{{e}^{x}}-x+C.$ B. $xleft( {{e}^{x}}+1 right)ln x-{{e}^{x}}-x+C.$ C. $xleft( {{e}^{x}}+1 right)ln x-{{e}^{x}}+x+C.$ D. $xleft( {{e}^{x}}+x right)ln x+{{e}^{x}}+x+C.$ |
Lời giải:
Tính nguyên hàm $I=int{f’left( x right)ln xdx}$
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=fleft( x right)ln x-int{frac{fleft( x right)dx}{x}=fleft( x right)ln x-{{e}^{x}}-x+C.}$
Mặt khác $frac{fleft( x right)}{x}=F’left( x right)={{e}^{x}}+1Rightarrow fleft( x right)=xleft( {{e}^{x}}+1 right)$
Suy ra $I=xleft( {{e}^{x}}+1 right)ln x-{{e}^{x}}-x+C.$ Chọn B.
| Ví dụ 16: Cho $Fleft( x right)=xsin x$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right){{e}^{x}}.$
Tìm nguyên hàm của hàm số $f’left( x right){{e}^{x}}$ A. $xleft( sin x+cos x right)+sin x+C.$ B. ${{e}^{x}}left( cos x-sin x right)+sin x+C.$ C. $xleft( cos x-2sin x right)+sin x+C.$ D. $xleft( cos x-sin x right)+sin x+C.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u={{e}^{x}} \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du={{e}^{x}}dx \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow I=int{f’left( x right){{e}^{x}}dx={{e}^{x}}.fleft( x right)-int{fleft( x right).{{e}^{x}}dx}}$
$=fleft( x right){{e}^{x}}-xsin x+C.$
Lại có: $fleft( x right).{{e}^{x}}=F’left( x right)=sin x+xcos x$
$Rightarrow I=sin x+xcos x-xsin x+C=xleft( cos x-sin x right)+sin x+C.$ Chọn D.
| Ví dụ 17: Cho $Fleft( x right)={{x}^{2}}+1$ là một nguyên hàm của hàm số $frac{fleft( x right)}{x}.$ Tìm nguyên hàm của $f’left( x right)ln x.$
A. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( 2ln x+1 right)}+C.$ B. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( 1-2ln x right)}+C.$ C. $int{f’left( x right)ln xdx=-{{x}^{2}}left( 2ln x+1 right)}+C.$ D. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( 2ln x-1 right)}+C.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$ suy ra $int{f’left( x right).ln xdx=ln x.fleft( x right)-int{frac{fleft( x right)}{x}dx}}$
Ta có ${F}’left( x right)=frac{fleft( x right)}{x}Leftrightarrow 2x=frac{fleft( x right)}{x}Leftrightarrow fleft( x right)=2{{x}^{2}}$
Do đó $int{{f}’left( x right).ln xdx=2{{x}^{2}}.ln x-{{x}^{2}}-1+C={{x}^{2}}left( 2ln x-1 right)+C.}$ Chọn D.
| Ví dụ 18: Cho $Fleft( x right)=ln x$ là một nguyên hàm của $xfleft( x right).$ Tìm nguyên hàm của $f’left( x right)ln x.$
A. $int{f’left( x right)ln xdx=frac{1}{{{x}^{2}}}left( ln x+frac{1}{2} right)}+C.$ B. $int{f’left( x right)ln xdx=frac{1}{x}left( ln x+frac{1}{2} right)}+C.$ C. $int{f’left( x right)ln xdx=frac{1}{{{x}^{2}}}left( ln x+frac{1}{2} right)}+C.$ D. $int{f’left( x right)ln xdx=frac{1}{{{x}^{2}}}left( 2ln x+1 right)}+C.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$ suy ra $int{f’left( x right).ln xdx=ln x.fleft( x right)-int{frac{fleft( x right)}{x}dx}}$
Ta có ${F}’left( x right)=x.fleft( x right)Leftrightarrow frac{1}{x}=x.fleft( x right)Leftrightarrow fleft( x right)=frac{1}{{{x}^{2}}}$
Do đó $int{{f}’left( x right).ln xdx=frac{ln x}{{{x}^{2}}}-int{frac{dx}{{{x}^{3}}}+C=frac{ln x}{{{x}^{2}}}+frac{1}{2{{x}^{2}}}+C}.}$ Chọn A.
| Ví dụ 19: Cho $Fleft( x right)=ln x$ là một nguyên hàm của $frac{fleft( x right)}{{{x}^{3}}}.$ Tìm nguyên hàm của $f’left( x right)ln x.$
A. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( frac{1}{2}-ln x right)}+C.$ B. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( ln x+frac{1}{2} right)}+C.$ C. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( 2ln x-1 right)}+C.$ D. $int{f’left( x right)ln xdx={{x}^{2}}left( ln x-frac{1}{2} right)}+C.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.$ suy ra $int{f’left( x right).ln xdx=ln x.fleft( x right)-int{frac{fleft( x right)}{x}dx}}$
Ta có ${F}’left( x right)=frac{fleft( x right)}{{{x}^{3}}}Leftrightarrow frac{1}{x}=frac{fleft( x right)}{{{x}^{3}}}Leftrightarrow fleft( x right)={{x}^{2}}$
Do đó $int{{f}’left( x right).ln xdx={{x}^{2}}ln x-int{xdx={{x}^{2}}.ln x-frac{{{x}^{2}}}{2}+C}.}$ Chọn D.
| Ví dụ 20: Cho $Fleft( x right)=xtan x+ln left| cos x right|$ là một nguyên hàm của hàm số $frac{fleft( x right)}{{{cos }^{2}}x}.$ Tìm nguyên hàm của hàm số $f’left( x right)tan x.$
A. $int{f’left( x right)tan xdx=ln left| cos x right|}+C.$ B. $int{f’left( x right)tan xdx=ln left| sin x right|}+C.$ C. $int{f’left( x right)tan xdx=-ln left| cos x right|}+C.$ D. $int{f’left( x right)tan xdx=-ln left| sin x right|}+C.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=tan x \ {} dv=f’left( x right)dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{{{cos }^{2}}x} \ {} v=fleft( x right) \ end{array} right.Rightarrow int{f’left( x right).tanxdx=fleft( x right).tan x-int{frac{fleft( x right)}{{{cos }^{2}}x}dx}}$
Ta có ${F}’left( x right)=frac{fleft( x right)}{{{cos }^{2}}x}Leftrightarrow cot x+frac{x}{{{cos }^{2}}x}-tan x=frac{fleft( x right)}{{{cos }^{2}}x}Leftrightarrow fleft( x right)=x.$
Do đó $int{{f}’left( x right).tanxdx=x.tan x-x.tan x-ln left| cos x right|+C=-ln left| cos x right|+C.}$ Chọn C.
| Ví dụ 21: Gọi $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=ln x$ thỏa mãn điều kiện $Fleft( 1 right)=3.$ Tính giá trị của biểu thức $T={{2}^{Fleft( e right)}}+{{log }_{4}}3.{{log }_{3}}left[ Fleft( e right) right].$
A. $T=2.$ B. $T=8.$ C. $T=frac{9}{2}.$ D. $T=17.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=ln x \ {} dv=dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=frac{dx}{x} \ {} v=x \ end{array} right.$ suy ra $int{fleft( x right)dx=x.ln x-int{dx}=x.ln x-x+C}$
Mà $Fleft( 1 right)=3xrightarrow{{}}1.ln 1-1+C=3Leftrightarrow C=4.$ Vậy $T=17.$ Chọn D.
| Ví dụ 22: Gọi $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=x{{e}^{2x}}$ thỏa mãn $Fleft( frac{1}{2} right)=0.$
Tính $ln left| Fleft( frac{5}{2} right) right|.$ A. $ln left| Fleft( frac{5}{2} right) right|=-2.$ B. $ln left| Fleft( frac{5}{2} right) right|=1.$ C. $ln left| Fleft( frac{5}{2} right) right|=5.$ D. $ln left| Fleft( frac{5}{2} right) right|=6.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv={{e}^{2x}}dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=frac{{{e}^{2x}}}{2} \ end{array} right.Rightarrow int{fleft( x right)dx=frac{x.{{e}^{2x}}}{2}-int{frac{{{e}^{2x}}}{2}dx}=frac{x.{{e}^{2x}}}{2}-frac{{{e}^{2x}}}{4}+C}$
Mà $Fleft( frac{1}{2} right)=0xrightarrow{{}}C=0xrightarrow{{}}Fleft( x right)=frac{x.{{e}^{2x}}}{2}-frac{{{e}^{2x}}}{4}.$ Vậy $ln left| Fleft( frac{5}{2} right) right|=5.$ Chọn C.
| Ví dụ 23: Cho $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=x.{{e}^{-x}}$ thỏa mãn $Fleft( 0 right)=-1.$ Tính tổng $S$ các nghiệm của phương trình $Fleft( x right)+x+1=0.$
A. $S=-3.$ B. $S=0.$ C. $S=2.$ D. $S=-1.$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv={{e}^{-x}}dx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=-{{e}^{-x}} \ end{array} right.Rightarrow int{fleft( x right)dx=-x.{{e}^{-x}}+int{{{e}^{-x}}dx}=-x.{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+C}$
Mà $Fleft( 0 right)=-1xrightarrow{{}}C-1=-1Leftrightarrow C=0xrightarrow{{}}Fleft( x right)=-x.{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}.$
Do đó $Fleft( x right)+x+1=0Leftrightarrow -x.{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+x+1=0Leftrightarrow left( x+1 right)left( 1-{{e}^{-x}} right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-1 \ {} x=0 \ end{array} right..$ Chọn D.
| Ví dụ 24: Biết $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)=xsin x$ thỏa mãn $Fleft( pi right)=2pi .$ Tính giá trị của biểu thức $T=2Fleft( 0 right)-8Fleft( 2pi right).$
A. $T=6pi .$ B. $T=4pi .$ C. $T=8pi .$ D. $T=10pi .$ |
Lời giải:
Đặt $left{ begin{array} {} u=x \ {} dv=sin xdx \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} du=dx \ {} v=-cos x \ end{array} right.Rightarrow int{x.sin xdx=-x.cos x+int{cos xdx}=-x.cos x+sin x+C}$
Mà $Fleft( pi right)=2pi xrightarrow{{}}C=4pi .$ Do đó $Fleft( x right)=-x.cos x+sin x+4pi .$
Vậy $T=2.4pi -8.2pi =-8pi .$ Chọn C.