Bài tập Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có – có đáp án chi tiết
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp có đường cao
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng SC tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABC bằng?
A. $frac{{{a}^{3}}}{8}$. B. $frac{{{a}^{3}}}{4}$. C. $frac{{{a}^{3}}}{2}$. D. $frac{3{{a}^{3}}}{4}$. |
Lời giải chi tiết:
Chú ý: Nếu tam giác ABC đều cạnh a thì độ dài đường trung tuyến
bằng m = $frac{asqrt{3}}{2}$
Ta có: $SAbot (ABC)Rightarrow widehat{(SC;(ABC))}=widehat{SCA}=60{}^circ $
$begin{array} {} Rightarrow tan 60{}^circ =frac{SA}{text{A}C}Rightarrow SA=ACtan 60{}^circ =asqrt{3},{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4} \ {} Rightarrow V=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=frac{1}{3}asqrt{3}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}}{4} \ end{array}$
Chọn B
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc $60{}^circ $. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD
A. V $=frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{2}$. B. V $=frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{6}$. C. V $=frac{{{a}^{3}}sqrt{5}}{4}$. D. V $=frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{18}$. |
Lời giải chi tiết
| Gọi H là trung điểm của $ADRightarrow AHbot (ABCD)$
Ta có: $BH=sqrt{{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$$begin{array} {} SH=BHtan 60{}^circ =frac{asqrt{5}}{2}.sqrt{3}=frac{asqrt{15}}{2} \ {} {{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}.frac{asqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{15}}{6} \ end{array}$ Chọn B. |
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, $SAbot (ABC)$. Biết mặt phẳng $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABC là
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{24}$. B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{18}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi M là trung điểm của $BCRightarrow AMbot BC$ và$AM=frac{asqrt{3}}{2}.$
Lại có: $BCbot SARightarrow BCbot (SMA)Rightarrow widehat{((SBC);(ABC))}=widehat{SMA}=60{}^circ $. Khi đó $SA=AMtan 60{}^circ =frac{3a}{2},{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.$ Thể tích khối chóp là:$V=frac{1}{4}SA.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$. Chọn B. |
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BC=$asqrt{3}$. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AC. Biết SB tạo với đáy một góc $30{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $frac{{{a}^{3}}}{2}$. B. $frac{{{a}^{3}}}{4}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. D. $frac{{{a}^{3}}}{6}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của $ACRightarrow AHbot (ABC).$
Khi đó $widehat{(SB);(ABC))}=widehat{SBH}.$ Ta có:$AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a.$
Tam giác ABC có đường trung tuyến BH ứng với cạnh huyền nên
$BH=frac{AC}{2}=a.$Do $widehat{SBH}=30{}^circ Rightarrow SH=HBtan 30{}^circ =frac{a}{sqrt{3}}.$
Lại có: ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}BA.BC=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$
Suy ra: ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{1}{3}.frac{a}{sqrt{3}}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{3}}}{6}.$Chọn D
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB= 2a, AD=$asqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc $60{}^circ $, tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V= $2{{a}^{3}}$. B. V=$4{{a}^{3}}sqrt{3}$. C. V=$12{{a}^{3}}$. D. V=$4{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
| Do $SAbot (ABCD)Rightarrow widehat{(SM;(ABCD))}=widehat{SMA}=60{}^circ .$
Ta có: $AM=sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=2a$ $Rightarrow SA=AMtan 60=2asqrt{3}$. Mặt khác ${{S}_{ABCD}}=AB.AD=2{{a}^{2}}sqrt{3}$. ${{V}_{S}}_{.ABCD}=frac{1}{3}.2asqrt{3}.2{{a}^{2}}sqrt{3}=4{{a}^{3}}$. Chọn D. |
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng $30{}^circ $.Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V= $frac{sqrt{6}{{a}^{3}}}{18}$. B. V=$sqrt{3}{{a}^{3}}$. C. V= $frac{sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$ D. V=$frac{sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $left{ begin{array} {} ADbot AB \ {} ADbot SA \ end{array} right.Rightarrow ADbot (SAB)$
Khi đó: $left( widehat{SD;(SAB)} right)=widehat{DSA}=30{}^circ $suy ra
$SAtan 30{}^circ =ADRightarrow SA=asqrt{3}$
Do đó ${{V}_{S.}}_{ABCD}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$. Chọn D.
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB= 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của AB. Biết rằng SA= $asqrt{7}$ và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối chóp là:
A. $frac{4{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$. B. $frac{2{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$. C. $frac{2{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$. D. $frac{4{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$. |
Lời giải chi tiết:
| Ta có: $SH=sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=asqrt{6}$.
Dựng $HKbot CD$ ta có: $left{ begin{array} {} HKbot CD \ {} SHbot CD \ end{array} right.$ Suy ra $CDbot (SHK)Rightarrow widehat{SKH}=60{}^circ $. Khi đó $HKtan 60{}^circ =SHRightarrow HK=frac{asqrt{6}}{sqrt{3}}=asqrt{2}=AD$. Khi đó ${{S}_{ABCD}}=2{{a}^{2}}sqrt{2}Rightarrow V=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{4{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$. Chọn D. |
| Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 2AB= 2CD= 2a và $SAbot (ABCD)$. Biết SA tạo với (SCD) một góc $30{}^circ $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{6}$. B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{2}$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=asqrt{2}$
Gọi I là trung điểm của $ADRightarrow ABCI$là hình vuông cạnh $aRightarrow CI=frac{AD}{2}=aRightarrow Delta ACD$ vuông tại C.
Khi đó: $left{ begin{array} {} CDbot SA \ {} CDbot AC \ end{array} right.Rightarrow CDbot (SAC)$.
Dựng $ANbot SCRightarrow left( widehat{SA;(SCD)} right)=widehat{ASN}=widehat{ASC}=30{}^circ $.
Suy ra $SA=ACcot 30{}^circ =asqrt{6}$.
Lại có: ${{S}_{ABCD}}=frac{AD+BC}{2}.AB=frac{3{{a}^{2}}}{2}$.
Do đó ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{2}$. Chọn D.
| Bài tập 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc $30{}^circ $. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V= $frac{sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$. B. V= $frac{2{{a}^{3}}}{3}$. C. V= $sqrt{2}{{a}^{3}}$. D. V= $frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $left{ begin{array} {} BCbot AB \ {} BCbot SA \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SAB)$
Do đó $left( widehat{SC;(SAB)} right)=widehat{SCB}=30{}^circ $
Khi đó: $SB=BC.cot 30{}^circ =asqrt{3}Rightarrow SA=sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=asqrt{2}$
Mặt khác ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}$. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm H của tam giác đều ABC, biết mặt phẳng (SDC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc $60{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. C.$frac{{{a}^{3}}}{6}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có $Delta ABC$ đều cạnh a nên H là trực tâm của tam giác $ABCRightarrow CHbot ABRightarrow CHbot BC$
$Rightarrow CDbot (SHC)Rightarrow widehat{SCH}=60{}^circ $.
Ta có: $OB=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow BD=asqrt{3}Rightarrow HB=HC=frac{2}{3}OB=frac{asqrt{3}}{3}$.
Khi đó:$SH=frac{asqrt{3}}{3}.tan 60{}^circ =a,{{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$
${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}.a.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. Chọn A.
| Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB= a, BC=$asqrt{3}$, biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng $60{}^circ $. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{12}$. B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{4}$. C.$frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{8}$. |
Lời giải chi tiết:
Dựng $BHbot ACRightarrow BHbot (SAC)$
Dựng $HKbot SCRightarrow (HKB)bot SCRightarrow widehat{HKB}=60{}^circ $.
Ta có: $BH=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow BKsin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow BK=a$.
Do $left{ begin{array} {} BCbot AB \ {} BCbot SA \ end{array} right.Rightarrow BCbot SB$. Khi đó $Delta SBC$vuông tại B nên ta có:
$frac{1}{S{{B}^{2}}}+frac{1}{B{{C}^{2}}}=frac{1}{B{{K}^{2}}}Rightarrow SB=asqrt{frac{3}{2}}Rightarrow SA=sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=frac{a}{sqrt{2}}$
${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}.frac{a}{sqrt{2}}.frac{1}{2}{{a}^{2}}sqrt{3}=frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{12}$. Chọn A.
| Bài tập 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 4a, M là một điểm thuộc cạnh AB sao cho MA=3MB, hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh OM. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và đáy là $60{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $4{{a}^{3}}sqrt{3}$. B.$frac{8sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$. C.$8{{a}^{3}}sqrt{3}$. D.$4{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
Dựng $HEbot BC,OFbot BC$
Ta có $(SHE)bot BCRightarrow widehat{SEH}=60{}^circ $
Mặt khác ME là đường trung bình của hình thang MOFB $Rightarrow ME=frac{MB+OF}{2}=frac{3a}{2}$
Ta có: $SH=HE.tan 60{}^circ =frac{3asqrt{3}}{2}$.
V$_{S.ABCD}=frac{1}{3}.frac{3asqrt{3}}{2}.16{{a}^{2}}=8{{a}^{3}}sqrt{3}$. Chọn C.
| Bài tập 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD= 2a, $SAbot (ABCD)$. Mặt phẳng $(SCD)$tạo với đáy một góc $45{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ACD là:
A.$frac{{{a}^{3}}}{2}$ . B. $frac{{{a}^{3}}}{4}$. C. $frac{3{{a}^{3}}}{4}$ . D.${{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi O là trung điểm của AD dễ thấy $OC=AB=a=frac{1}{2}ADRightarrow Delta ACD$ vuông tại C
Khi đó $left{ begin{array} {} CDbot AC \ {} CDbot SA \ end{array} right.Rightarrow CDbot (SAC)$ Do vậy $widehat{SCA}=45{}^circ $. Lại có tam giác ACD vuông tại C nên $AC=sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=asqrt{3}Rightarrow SA=asqrt{3}.tan 45{}^circ =asqrt{3}$ Ta có: $d(C;AD)=CDsin widehat{CDA}=CD.sin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}$. Do đó ${{S}_{ABCD}}=frac{AD+BC}{2}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{3{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}$ Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=frac{3{{a}^{3}}}{4}$. Chọn C. |