Bài tập tính tích phân áp dụng bất đẳng thức tích phân có đáp án
Dưới đây là một số bài tập áp dụng bất đẳng thức để tính tích phân có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$ thỏa mãn $fleft( 1 right)=6$, $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx=frac{5}{2}}$ và $intlimits_{0}^{1}{x.fleft( x right)dx=frac{5}{2}}$ . Tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$ bằng
A. $frac{23}{4}$ B. $frac{5}{4}$ C. $frac{5}{2}$ D. $frac{19}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv=xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du={f}’left( x right)dx \ {} v=frac{{{x}^{2}}}{2} \ end{array} right.$, khi đó $intlimits_{0}^{1}{x.fleft( x right)dx=left. frac{{{x}^{2}}}{2}.fleft( x right) right|_{0}^{1}-intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}}{2}.{f}’left( x right)dx}}$
Suy ra $frac{5}{2}=frac{fleft( 1 right)}{2}-intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}}{2}.{f}’left( x right)dx}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’left( x right)dx}=1$
Ta chọn k sao cho: $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right)+k{{x}^{2}} right]}^{2}}dx=intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx+2kintlimits_{0}^{1}{{f}’left( x right){{x}^{2}}dx+{{k}^{2}}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx}}}}=0$
$=5+2k+frac{{{k}^{2}}}{2}=0Rightarrow k=-5Rightarrow intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right)-5{{x}^{2}} right]}^{2}}dx=0Rightarrow {f}’left( x right)=5{{x}^{2}}}Rightarrow fleft( x right)=frac{5{{x}^{3}}}{3}+C$
Do $fleft( 1 right)=6Rightarrow C=frac{13}{3}Rightarrow fleft( x right)=frac{5{{x}^{3}}}{3}+frac{13}{3}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}=frac{19}{4}$. Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $fleft( x right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$ thỏa mãn $fleft( 1 right)=1$, $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx=frac{9}{5}}$ và $intlimits_{0}^{1}{x.fleft( x right)dx=frac{1}{5}}$ . Tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$ bằng
A. $I=frac{3}{5}$. B. $I=frac{1}{4}$. C. $I=frac{3}{4}$. D. $I=frac{1}{5}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv=xdx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du={f}’left( x right)dx \ {} v=frac{{{x}^{2}}}{2} \ end{array} right.$
Do đó $intlimits_{0}^{1}{x.fleft( x right)dx=left. frac{{{x}^{2}}}{2}.fleft( x right) right|_{0}^{1}-frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’left( x right)dx}}=frac{1}{2}-frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}’left( x right)dx}=frac{1}{5}$
Suy ra $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}’left( x right)dx}=frac{3}{5};intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}}dx=frac{1}{5}$
Chọn k sao cho: $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right)+k{{x}^{2}} right]}^{2}}dx=frac{9}{5}+frac{6k}{5}+frac{{{k}^{2}}}{5}=0Rightarrow k=-3}$
Như vậy $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right)-3{{x}^{2}} right]}^{2}}dx=0Rightarrow {f}’left( x right)=3{{x}^{2}}}Rightarrow fleft( x right)={{x}^{3}}+C$
Do $fleft( 1 right)=1Rightarrow C=0Rightarrow I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}=intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx}=frac{1}{4}$. Chọn B.
| Bài tập 3: Cho hàm số $fleft( x right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$ thỏa mãn $fleft( 1 right)=frac{3}{5}$, $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx=frac{4}{9}}$ và $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx=frac{37}{180}}$ . Tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{left[ fleft( x right)-1 right]}dx$ bằng
A. $frac{1}{15}$. B. $-frac{1}{15}$. C. $-frac{1}{10}$. D. $frac{1}{10}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv={{x}^{3}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=f’left( x right)dx \ {} v=frac{{{x}^{4}}}{4} \ end{array} right.$
Do đó $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx=left. frac{{{x}^{4}}}{4}.fleft( x right) right|_{0}^{1}-intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{4}}}{4}.{f}’left( x right)dx}}=frac{3}{20}-intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{4}}{f}’left( x right)}{4}dx}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}{f}’left( x right)dx}=-frac{2}{9}$
Lại có: $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}=frac{1}{9}$ ta chọn k sao cho: $intlimits_{0}^{1}{left[ {f}’left( x right)+k{{x}^{4}} right]dx=frac{4}{9}+2k.frac{-2}{9}+frac{{{k}^{2}}}{9}=0Rightarrow k=2}$
Như vậy $intlimits_{0}^{1}{left[ {f}’left( x right)+2{{x}^{4}} right]dx=0Rightarrow {f}’left( x right)=-2{{x}^{4}}}Rightarrow fleft( x right)=frac{-2{{x}^{5}}}{5}+C$
Do $fleft( 1 right)=frac{3}{5}Rightarrow frac{3}{5}=frac{-2}{5}+CLeftrightarrow C=1Leftrightarrow fleft( x right)-1=frac{-2}{5}{{x}^{5}}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{left[ fleft( x right)-1 right]dx}=frac{-1}{15}$. Chọn B.
| Bài tập 4: Cho hàm số $fleft( x right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $left[ 0;3 right]$ thỏa mãn $fleft( 3 right)=1$, $intlimits_{0}^{3}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx=frac{1}{27}}$ và $intlimits_{0}^{3}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx=frac{42}{5}}$ . Tích phân $I=intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)dx}$ bằng
A. $frac{5}{2}$. B. $frac{3}{2}$. C. $frac{7}{2}$. D. $4$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv={{x}^{3}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du=f’left( x right)dx \ {} v=frac{{{x}^{4}}}{4} \ end{array} right.$khi đó $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx=left. frac{{{x}^{4}}}{4}.fleft( x right) right|_{0}^{3}-intlimits_{0}^{3}{frac{{{x}^{4}}}{4}{f}’left( x right)dx}}$
Suy ra $frac{45}{2}=frac{81fleft( 3 right)}{4}-intlimits_{0}^{3}{frac{{{x}^{4}}}{4}.{f}’left( x right)dx}Rightarrow intlimits_{0}^{3}{{{x}^{4}}}{f}’left( x right)dx=-9$
Ta chọn k sao cho: $intlimits_{0}^{3}{{{left[ {f}’left( x right)+k{{x}^{4}} right]}^{2}}dx=intlimits_{0}^{3}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx+2kintlimits_{0}^{3}{{f}’left( x right){{x}^{4}}dx+{{k}^{2}}intlimits_{0}^{3}{{{x}^{8}}dx}}}}$
$=frac{1}{27}-2.9k+2187{{k}^{2}}=0Rightarrow k=frac{1}{243}Rightarrow {f}’left( x right)=-frac{1}{243}{{x}^{4}}Rightarrow fleft( x right)=frac{-{{x}^{5}}}{1215}+frac{6}{5}Rightarrow intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)dx=}frac{7}{2}$. Chọn C.
| Bài tập 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số $fleft( x right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $left[ 0;1 right]$ thỏa mãn $fleft( 1 right)=0$, $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx=7}$ và $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}fleft( x right)dx=frac{1}{3}}$ . Tích phân $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$ bằng
A. $frac{7}{5}$. B. $1$. C. $frac{7}{4}$. D. $4$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $left{ begin{array} {} u=fleft( x right) \ {} dv=3{{x}^{2}}dx \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} du{=}’left( x right)dx \ {} v={{x}^{3}} \ end{array} right.$, khi đó $intlimits_{0}^{1}{3{{x}^{2}}fleft( x right)dx=left. {{x}^{3}}.fleft( x right) right|_{0}^{1}-intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}’left( x right)dx}}$
Suy ra $I=fleft( 1 right)-intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}’left( x right)dxRightarrow }intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.{f}’left( x right)dx=-1Leftrightarrow intlimits_{0}^{1}{14{{x}^{3}}.{f}’left( x right)dx=-7}}$. Mà $intlimits_{0}^{1}{49{{x}^{6}}}dx=7$ suy ra $intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right) right]}^{2}}dx+intlimits_{0}^{1}{7{{x}^{3}}}{f}’left( x right)dx+intlimits_{0}^{1}{49{{x}^{6}}dx}=0}Leftrightarrow intlimits_{0}^{1}{{{left[ {f}’left( x right)+7{{x}^{3}} right]}^{2}}dx}=0$
Vậy ${f}’left( x right)+7{{x}^{3}}=0Rightarrow fleft( x right)=-frac{7}{4}{{x}^{4}}+C$
Mà lại có: $fleft( 1 right)=0Rightarrow fleft( x right)=frac{7}{4}left( 1-{{x}^{4}} right)Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}=frac{7}{5}$. Chọn A.