Bài toán Tìm điểm m sao cho ma^2+mb^2+mc^2 nhỏ nhất, lớn nhất
Đề bài tổng quát
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $T=aM{{A}^{2}}+bM{{B}^{2}}+cM{{C}^{2}}$ đạt max hoặc min.
Phương pháp giải:
+) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức $aoverrightarrow{IA}+boverrightarrow{IB}+coverrightarrow{IC}=overrightarrow{0}$
+) Phân tích $T=a{{overrightarrow{MA}}^{2}}+b{{overrightarrow{MB}}^{2}}+c{{overrightarrow{MC}}^{2}}$ =$a{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IA} right)}^{2}}+b{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IB} right)}^{2}}+c{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IC} right)}^{2}}$
$Rightarrow left( a+b+c right)M{{I}^{2}}+2overrightarrow{MI}left( aoverrightarrow{IA}+boverrightarrow{IB}+coverrightarrow{IC} right)+aI{{A}^{2}}+bI{{B}^{2}}+cI{{C}^{2}}$
$=(a+b+c)M{{I}^{2}}+aI{{A}^{2}}+bI{{B}^{2}}+cI{{C}^{2}}$.
+) Nếu $a+b+c>0$ thì T đặt min; $a+b+c<0$ thì T đặt max.
Khi đó ${{T}_{max}};{{T}_{min }}Leftrightarrow M{{I}_{min}}to $ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Bài tập cực trị oxyz – hình không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho các điểm $Aleft( -3;5;-5 right);text{ }Bleft( 5;-3;7 right)Cleft( 1;0;3 right)$ và $(P):x+y+z=0$. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
a) $T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. b) $T=M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
a) Gọi I là trung điểm của AB thì $overrightarrow{IA}+overrightarrow{IB}=overrightarrow{0}$.
Ta có: $T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất $Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình IM là: $left{ begin{array} {} x=1+t \ {} y=1+t \ {} z=1+t \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 1+t;1+t;1+t right)$
Cho $Min (P)Rightarrow 3(1+t)=0Leftrightarrow t=-1Rightarrow Mleft( 0;0;0 right)$.
b) Gọi I là điểm thỏa mãn $overrightarrow{IA}-2overrightarrow{IB}=overrightarrow{0}Rightarrow left{ begin{array} {} {{x}_{1}}=frac{{{x}_{A}}-2{{x}_{B}}}{1-2}=13 \ {} {{y}_{1}}=frac{{{y}_{A}}-2{{y}_{B}}}{1-2}=-11 \ {} {{z}_{1}}=frac{{{z}_{A}}-2{{z}_{B}}}{1-2}=19 \ end{array} right.$
Ta có: $T=M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}={{overrightarrow{MA}}^{2}}-2{{overrightarrow{MB}}^{2}}={{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IA} right)}^{2}}-2{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IB} right)}^{2}}$
= $-M{{I}^{2}}+2overrightarrow{MI}(overrightarrow{IA}-2overrightarrow{IB})+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$= $-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$.
Do$I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$ không đổi nên ${{T}_{max }}Leftrightarrow -M{{I}^{2}}$ lớn nhất khi đó $M{{I}_{min }}Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình IM là: $left{ begin{array} {} x=13+t \ {} y=-11+t \ {} z=19+t \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 13+t;-11+t;19+t right)$.
Cho $Min (P)Rightarrow 21+3t=0Leftrightarrow t=-7Rightarrow Mleft( 6;-18;12 right)$.
| Bài tập 2: Cho các điểm$Aleft( 1;4;5 right);text{ }Bleft( 0;3;1 right)Cleft( 2;-1;0 right)$ và $(P):3x-3y-2z-15=0$ . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
a) $T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất. b) $T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-4M{{C}^{2}}$đạt giá trị lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC $Rightarrow left{ begin{array} {} G(1;2;2) \ {} overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0} \ end{array} right.$
Ta có: $T={{overrightarrow{MA}}^{2}}+{{overrightarrow{MB}}^{2}}+{{overrightarrow{MC}}^{2}}={{left( overrightarrow{MG}+overrightarrow{GA} right)}^{2}}+{{left( overrightarrow{MG}+overrightarrow{GB} right)}^{2}}+{{left( overrightarrow{MG}+overrightarrow{GC} right)}^{2}}$
$=3M{{G}^{2}}+2overrightarrow{MG}(overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC})+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$
Do đó ${{T}_{min }}Leftrightarrow {{M}_{min }}Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của G lên (P).
Khi đó phương trình MG là: $left{ begin{array} {} x=1+3t \ {} y=2-3t \ {} z=2-2t \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 1+3t;2-3t;2-t right)$.
Giải $Min (P)Rightarrow 9t+3+9t-6+4t-4-15=0Leftrightarrow t=1Rightarrow Mleft( 4;-1;0 right)$.
b) Gọi I là điểm thỏa mãn $overrightarrow{IA}+2overrightarrow{IB}-4overrightarrow{IC}Rightarrow left{ begin{array} {} {{x}_{1}}=frac{{{x}_{A}}+2{{x}_{B}}-4{{x}_{C}}}{1+2-4}=7 \ {} {{y}_{1}}=frac{{{y}_{A}}+2{{y}_{B}}-4{{y}_{C}}}{1+2-4}=-14 \ {} {{z}_{1}}=frac{{{z}_{A}}+2{{z}_{B}}-4{{z}_{C}}}{1+2-4}=-7 \ end{array} right.$
Biến đổi $T=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-4I{{C}^{2}}$đạt giá trị lớn nhất $Leftrightarrow M{{I}_{min }}Leftrightarrow $ M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình MI là: $left{ begin{array} {} x=7+3t \ {} y=-14-3t \ {} z=-7-2t \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 7+3t;-14-3t;-7-2t right)$.
Giải $Min (P)Rightarrow 9t+21+9t+42+4t+14-15=0Leftrightarrow t=frac{-31}{11}Rightarrow Mleft( -frac{16}{11};frac{-61}{11};frac{-15}{11} right)$.
| Bài tập 3: Cho các điểm $Aleft( 1;1;-1 right);text{ }Bleft( 2;0;1 right)Cleft( 1;-1;-1 right)$và $(P):x+3y+z+2=0$. Biết điểm M thuộc (P) sao cho $T=M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$đạt giá trị nhỏ nhất. Tính độ dài OM.
A. $OM=sqrt{6}$. B. $OM=sqrt{3}$. C. $OM=sqrt{2}$. D. $OM=2$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm I là điểm thỏa mãn $overrightarrow{IA}+2overrightarrow{IB}-overrightarrow{IC}=overrightarrow{0}Rightarrow left{ begin{array} {} {{x}_{1}}=frac{{{x}_{A}}+2{{x}_{B}}-{{x}_{C}}}{1+2-1}=1 \ {} {{y}_{1}}=frac{{{y}_{A}}+2{{y}_{B}}-{{y}_{C}}}{1+2-1}=1 \ {} {{z}_{1}}=frac{{{z}_{A}}+2{{z}_{B}}-{{z}_{C}}}{1+2-1}=1 \ end{array} right.$
Biến đổi $T=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$đạt gía trị nhỏ nhất $Leftrightarrow M{{I}_{min }}Leftrightarrow $M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình MI là: $left{ begin{array} {} x=2+t \ {} y=1+t \ {} z=1+t \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 2+t;1+t;1+t right)$.
Giải $Min (P)Rightarrow 3t+4+2=0Leftrightarrow t=-2Rightarrow Mleft( 0;-1;-1 right)Rightarrow OM=sqrt{2}$. Chọn C.
| Bài tập 4: Cho các điểm $Aleft( 0;4;-2 right);text{ }Bleft( 1;2;-1 right)$và$(P):x+y+z+1=0$. Biết điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}$đạt giá trị lớn nhất. Tính OM.
A. $OM=sqrt{6}$. B. $OM=sqrt{3}$. C. $OM=sqrt{2}$. D. $OM=2$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn $overrightarrow{IA}-2overrightarrow{IB}=overrightarrow{0}Rightarrow Ileft( 2;0;0 right)$.
Biến đổi $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Khi đó phương trình MI là: $left{ begin{array} {} x=2+t \ {} y=-t \ {} z=t \ end{array} right.Rightarrow Mleft( 2+t;-t;t right)$.
Cho$Min (P)Rightarrow 2+t+t+t+1=0Leftrightarrow t=-1Rightarrow Mleft( 1;1;-1 right)Rightarrow OM=sqrt{3}$ . Chọn B.
| Bài tập 5: Trong không gian$Oxyz$ , cho hai điểm $Aleft( 1;2;1 right);text{ }Bleft( 2;-1;3 right)$. Điểm M trên mặt phẳng $left( {{O}_{xyz}} right)$ sao cho $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}$ lớn nhất. Khi đó $T={{x}_{M}}+{{y}_{M}}$ có giá trị là
A. $T=1$. B. $T=0$. C. $T=-1$. D. $T=2$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi M là điểm thỏa mãn $overrightarrow{IA}-2overrightarrow{IB}=0Leftrightarrow overrightarrow{IA}=2overrightarrow{IB}Leftrightarrow Ileft( 3;-4;5 right)$.
Khi đó $M{{A}^{2}}-2M{{B}^{2}}={{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IA} right)}^{2}}-2{{left( overrightarrow{MI}+overrightarrow{IB} right)}^{2}}=-M{{I}^{2}}+2overrightarrow{MI}(overrightarrow{IA}-2overrightarrow{IB})+I{{A}^{2}}-2IB$
$=-M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}-2I{{B}^{2}}$lớn nhất$Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất$Leftrightarrow $ M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (${{O}_{xy}}$)
Suy ra $Mleft( 3;-4;0 right)Rightarrow T=-1$ . Chọn C.
| Bài tập 6: Trong không gian $Oxyz$,cho 3 điểm $Aleft( 4;1;5 right);text{ }Bleft( 3;0;1 right);Cleft( -1;2;0 right)$ và mặt phẳng $(P):3x-3y+2z+37=0$ . Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho $S=overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}+overrightarrow{MB}.overrightarrow{MC}+overrightarrow{MC.}overrightarrow{MA}$ nhỏ nhất. Tính a+b+c.
A. a+b+c=13. B. a+b+c=9. C. a+b+c=11. D. a+b+c=1. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $Dleft( frac{7}{2};frac{1}{2};3 right);Eleft( 1;1;frac{1}{2} right);Fleft( frac{3}{2};frac{3}{2};frac{5}{2} right)$ lần lượt là trung điểm của AB, BC và AC.
Ta có: $overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=left( overrightarrow{MD}+overrightarrow{DA} right)left( overrightarrow{MD}+overrightarrow{DB} right)=left( overrightarrow{MD}+overrightarrow{DA} right)left( overrightarrow{MD}-overrightarrow{DA} right)=M{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}=M{{D}^{2}}-frac{A{{B}^{2}}}{4}$
Suy ra $S=M{{D}^{2}}+M{{E}^{2}}+M{{F}^{2}}-frac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}{4}$nhỏ nhất $Leftrightarrow M{{D}^{2}}+M{{E}^{2}}+M{{F}^{2}}$nhỏ nhất.
Gọi $Gleft( 2;1;2 right)$ là trọng tâm tam giác DEF $Rightarrow M{{D}^{2}}+M{{E}^{2}}+M{{F}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{D}^{2}}+G{{E}^{2}}+G{{F}^{2}}$ nhỏ nhất $Leftrightarrow M{{G}_{min }}Leftrightarrow $ M là hình chiếu của G trên (P) $Rightarrow MG:left{ begin{array} {} x=2+3t \ {} y=1-3t \ {} z=2+2t \ end{array} right.$
Suy ra $M=MGcap (P)Rightarrow M(-4;7;-2)Rightarrow a+b+c=1$. Chọn D.