Cách giải bài toán tính Thể tích một số khối chóp đặc biệt
Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có tất cả các cạnh bên bằng nhau: $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=…=S{{A}_{n}}$.
Dựng đường cao $SHbot left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{n}} right)$ của khối chóp.
Khi đó theo định lý Pytago ta có:
$S{{H}^{2}}=S{{A}_{1}}^{2}-H{{A}_{1}}^{2}=S{{A}_{2}}^{2}-H{{A}_{2}}^{2}=….=S{{A}_{n}}^{2}-H{{A}_{n}}^{2}$.
Lại có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=…=S{{A}_{n}}$ suy ra $H{{A}_{1}}=H{{A}_{2}}=…=H{{A}_{n}}$.
Như vậy: Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$.
Khi đó $SH=h={{R}_{}}tan alpha $.
Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau
Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có tất cả các cạnh bên đều tạo với đáy một góc $alpha $.
Dựng đường cao $SHbot left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{n}} right)$ của khối chóp.
Khi đó: $widehat{S{{A}_{1}}H}=widehat{S{{A}_{2}}H}=….=widehat{S{{A}_{n}}H}=alpha $suy ra
$SH=H{{A}_{1}}tan alpha =H{{A}_{2}}tan alpha =….=H{{A}_{n}}tan alpha $.
Do đó $H{{A}_{1}}=H{{A}_{2}}=…=H{{A}_{n}}$ suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$.
Khi đó $SH=h={{R}_{}}tan alpha $.
Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau
| Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có tất cả các mặt bên đều tạo với đáy một góc$alpha $
Dựng đường cao $SHbot left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{n}} right)$ của khối chóp. Dựng $H{{K}_{1}}bot {{A}_{1}}{{A}_{2}}$,$H{{K}_{2}}bot {{A}_{2}}{{A}_{3}}$,… ,$H{{K}_{n}}bot {{A}_{n}}{{A}_{1}}$ Do $left{ begin{array} {} H{{K}_{1}}bot {{A}_{1}}{{A}_{2}} \ {} {{A}_{1}}{{A}_{2}}bot SH \ end{array} right.Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}bot left( S{{K}_{1}}H right)Rightarrow widehat{S{{K}_{1}}H}=alpha $. Tương tự như vậy ta có: $oversetfrown{S{{K}_{1}}H}=oversetfrown{S{{K}_{2}}H}=….=oversetfrown{S{{K}_{n}}H}=alpha $. Suy ra $SH=H{{K}_{1}}tan alpha =H{{K}_{2}}tan alpha ….=H{{K}_{n}}tan alpha $ do đó $H{{K}_{1}}=H{{K}_{2}}=…=H{{K}_{n}}$. Suy ra điểm H trùng với tâm đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh (hay đường tròn nội tiếp) của đa giác${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$. Khi đó $SH=h={{r}_{}}tan alpha $. |
Bài tập trắc nghiệm tính thể tích khối chóp đặc biệt có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA=SB=SC= $a$. Biết rằng $widehat{ASB}=widehat{BSC}=60{}^circ $, $widehat{ASC}=90{}^circ $. Thể tích khối chóp đã cho là:
A.V= $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. B. V= $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{6}$. C. V= $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$. D.V=$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$. |
Lời giải chi tiết:
| Dễ thấy các tam giác ASB, BSC là tam giác đều do đó AB = BC =$a$.
Mặt khác:$AC=sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=asqrt{2}=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}$ Do đó tam giác ABC vuông tại B. Mặt khác SA = SB = SC =$a$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền AC. Ta có: $SH=frac{asqrt{2}}{2}$; ${{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}}{2}$$Rightarrow $${{V}_{S.ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$. Chọn C. |
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA=SB=SC= $a$. Biết rằng $widehat{ASB}=60{}^circ $,$widehat{BSC}=90{}^circ $, $widehat{ASC}=120{}^circ $. Thể tích khối chóp đã cho là:
A.V= $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. B. V= $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{6}$. C. V= $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$. D.V=$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$. |
Lời giải chi tiết:
| Tam giác SAB đều nên AB=$a$ , $Delta $SBC vuông tại S nên $BC=sqrt{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}}=asqrt{2}$.
Mặt khác $AC=sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-2SA.SCcos widehat{ASC}}=asqrt{3}$ Do $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}$nên tam giác ABC vuông tại B. Mặt khác SA=SB=SC= $a$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền AC. Ta có: ${{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{2}}{2}$, $SH=sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=frac{a}{2}$. $Rightarrow $${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$. Chọn C. |
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, có AB=AC= $a$, $widehat{BAC}=120{}^circ $. Các cạnh bên đều tạo với đáy một góc $60{}^circ $.Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.V= $frac{{{a}^{3}}}{4}$ . B. V=$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$ . C. V=$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$. D.V=$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$. |
Lời giải chi tiết:
Diện tích tam giác ABC là: ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.AC.sin widehat{BAC}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}$.
Do các cạnh bên đều tạo với đáy một góc bằng $60{}^circ $$Rightarrow $ hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lại có:$BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.ACcos widehat{BAC}}=asqrt{3}Rightarrow {{R}_{ABC}}=frac{BC}{2sin A}=frac{asqrt{3}}{2sin 120{}^circ }=a$.
Suy ra $SH={{R}_{ABC}}.tan 60{}^circ =asqrt{3}$$Rightarrow $${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}}{4}$. Chọn A.
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB = 3, BC = 4. Biết rằng các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng $60{}^circ $. Thể tích khối chóp đã cho là
A.V= $frac{5sqrt{3}}{3}$ . B. V=$frac{5sqrt{3}}{6}$ . C. V=$frac{5sqrt{3}}{2}$. D.V=$frac{5sqrt{3}}{12}$. |
Lời giải chi tiết:
| Ta có: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lại có $p.r={{S}_{ABC}}$. Trong đó ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.BC=6$;$AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=5$ Suy ra $p=frac{AB+BC+CA}{2}=6Rightarrow r=frac{5}{6}=HK$. Khi đó $SH=rtan 60{}^circ =frac{5sqrt{3}}{6}$ Do đó $V=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{5sqrt{3}}{3}$. Chọn A. |
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 10, BC= 12. Các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng ${{30}^{o}}$. Thể tích khối chóp đã cho là
|
Lời giải chi tiết:
| Do các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Gọi M là trung điểm của BC$Rightarrow $AM $bot $BC Ta có:$AM=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8$. Khi đó: ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AM.BC=48Rightarrow {{r}_{ABC}}=frac{S}{p}=frac{48}{frac{10+10+12}{2}}=3$$Rightarrow SH=rtan 30{}^circ =sqrt{3}$$Rightarrow $$V=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=16sqrt{3}$.Chọn C.
|
..