Cách Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng
Phương pháp xác định tọa độ hình chiếu
- Loại 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng $Delta $
Tham số hóa điểm $Hin Delta Rightarrow overrightarrow{AH}$. Do $AHbot Delta Rightarrow overrightarrow{αH}.overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H.
Chú ý: Nếu ${A}’$là điểm đối xứng của A qua đường thẳng $Delta $ thì H là trung điểm của $text{A{A}’}$.
Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm ${A}’$.
- Loại 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng (P)
Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó $overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}$từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d suy ra $H=dcap left( P right)$.
Chú ý: Nếu ${A}’$là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của $text{A{A}’}$.
Bài tập tìm điểm trong tọa độ không gian có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Delta :frac{x+1}{2}=frac{y+2}{-1}=frac{z}{2}$. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm$Aleft( 2;-3;1 right)$ lên đường thẳng $Delta $. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $Hleft( -1+2t;-2-t;2t right)Rightarrow overrightarrow{AH}=left( 2t-3;1-t;2t-1 right)$
Cho $overrightarrow{αH}.overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=0Leftrightarrow left( 2t-3;1-t;2t-1 right).left( 2;-1;2 right)=0$
$Leftrightarrow 2left( 2t-3 right)+left( t-1 right)+2left( 2t-1 right)=0Leftrightarrow t=1Rightarrow H=left( 1;-3;2 right).$
| Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
$Aleft( 1;0;0 right),Bleft( 0;1;0 right),Cleft( 0;0;1 right),Dleft( -2;1;-1 right)$. Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. |
Lời giải chi tiết:
PT mặt phẳng $left( ABC right):x+y+z-1=0$, phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC) có vectơ chỉ phương là $overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{{{n}_{left( P right)}}}=left( 1;1;1 right)Rightarrow d:frac{x+2}{1}=frac{y-1}{1}=frac{z+1}{1}$
$Rightarrow H=dcap left( ABC right)$. Gọi $Hleft( -2+t;1+t;-1+t right)in d$
Do $Hin left( P right)Rightarrow -2+t+1+t-1+t-1=0Leftrightarrow t=1$. Vậy $Hleft( -1;2;0 right)$.
| Bài tập 3: Hình chiếu vuông góc của $Mleft( 2;0;0 right)$lên đường thẳng $left{ begin{array} {} x=-t \
{} y=3+t \ {} z=1+t \ end{array} right.$ có tọa độ là: A. $left( -2;2;1 right)$. B. $left( -2;0;0 right)$. C. $left( 2;1;-1 right)$. D. $left( 1;2;-1 right)$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi $Hleft( -t;3+t;1+t right)Rightarrow overrightarrow{MH}=left( -t-2;3+t;1+t right);overrightarrow{{{u}_{d}}}=left( -1;1;1 right)$
Cho $overrightarrow{MH}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0Leftrightarrow t+2+3+t+1+t=0Leftrightarrow t=-2Rightarrow Hleft( 2;1;-1 right)$. Chọn C.
| Bài tập 4: Hình chiếu vuông góc của $Mleft( 1;4;2 right)$lên mặt phẳng $left( alpha right):x+y+z-1=0$có tọa độ là:
A. $left( -1;2;0 right)$. B. $left( 2;-1;0 right)$. C. $left( -2;3;1 right)$. D. $left( 3;2;-1 right)$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $left( alpha right)$là: $d:frac{x-1}{1}=frac{y-4}{1}=frac{z-2}{1}$
$H=dcap left( alpha right)$, gọi $Hleft( 1+t;4+t;2+t right)in dRightarrow 1+t+4+t+2+t-1=0Leftrightarrow t=-2$
$Rightarrow Hleft( -1;2;0 right)$. Chọn A.
| Bài tập 5: Cho mặt phẳng $left( alpha right):x+3y-z-27=0$. Điểm đối xứng với điểm $Mleft( 2;1;0 right)$qua mặt phẳng $left( alpha right)$có tọa độ là:
A. $left( 2;-1;0 right)$. B. $left( -2;-1;0 right)$. C. $left( 13;6;-4 right)$. D. $left( 6;13;-4 right)$. |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $left( alpha right)$là: $d:frac{x-2}{1}=frac{y-1}{3}=frac{z}{-1}$
$H=dcap left( alpha right)Rightarrow Hleft( 4;7;-2 right)$ là trung điểm của $M{M}’Rightarrow {M}’left( 6;13;-4 right)$. Chọn D.
| Bài tập 6: Điểm đối xứng với điểm $Aleft( 1;-2;-5 right)$qua đường thẳng $left( d right):left{ begin{array} {} x=1+2t \ {} y=-1-t \ {} z=2t \ end{array} right.$ có tọa độ là:
A. $left( -2;-1;7 right)$. B. $left( -1;-2;5 right)$. C. $left( -3;2;1 right)$. D. $left( 1;2;-4 right)$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi ${A}’$là điểm đối xứng quả A qua d.
Gọi $Hleft( 1+2t;-1-t;2t right)$ ta có: $overrightarrow{AH}=left( 2t;1-t;2t+5 right)$
Cho $overrightarrow{αH}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+t-1+4t+10=0Leftrightarrow t=-1Rightarrow Hleft( -1;0;-2 right)Rightarrow {A}’left( -3;2;1 right)$. Chọn C.
| .Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $Aleft( 2;3;-1 right),Bleft( 0;-1;2 right),Cleft( 1;0;3 right)$. Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC là :
A. $left( 3;1;0 right)$. B. $left( 1;0;3 right)$. C. $left( -2;-3;1 right)$. D. $left( 3;2;-1 right)$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $overrightarrow{BC}=overrightarrow{{{u}_{BC}}}=left( 1;1;1 right)$
Phương trình đường thẳng BC là $BC:left{ begin{array} {} x=t \ {} y=-1+t \ {} z=2+t \ end{array} right.$.
Gọi $Hleft( t;-1+t;2+t right)in BC$ta có: $overrightarrow{AH}=left( t-2;t-4;t+3 right);overrightarrow{{{u}_{BC}}}=left( 1;1;1 right)=0$
$overrightarrow{AH}.overrightarrow{{{u}_{BC}}}=0Leftrightarrow 3t-3=0Leftrightarrow t=1Rightarrow Hleft( 1;0;3 right)$. Chọn B.