Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số phân thức chứa tham số m
Phương pháp giải bài toán tính đồng biến ngịch biến của hàm phân thức có m
Xét hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}$. TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{-d}{c} right}$.
Ta có $y=frac{ax+b}{cx+d}Rightarrow {y}’=frac{ad-bc}{{{left( cx+d right)}^{2}}}$.
Nếu $ad=bc$ thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng. Do đó:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó $Leftrightarrow ad-bc>0$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó $Leftrightarrow ad-bc<0$.
Hàm số đồng biến trên miền $D=left( i;j right)Leftrightarrow {y}’>0text{ }forall xin left( i;j right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} ad-bc>0 \ {} frac{-d}{c}notin left( i;j right) \ end{array} right.$.
Hàm số nghịch biến trên miền $D=left( i;j right)Leftrightarrow {y}'<0text{ }forall xin left( i;j right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} ad-bc<0 \ {} frac{-d}{c}notin left( i;j right) \ end{array} right.$.
Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số phân thức chứa tham số m có đáp án
| Ví dụ 1: Cho hàm số $y=frac{x+1}{x-2m}$
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-10 right)$. |
Lời giải
a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 2m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-2m-1}{{{left( x-2m right)}^{2}}}$
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi ${y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow -2m-1>0$
$Leftrightarrow -2m>1Leftrightarrow m<-frac{1}{2}$.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-10 right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} m<-frac{1}{2} \ {} 2mge -10 \ end{array} right.Leftrightarrow -5le m<-frac{1}{2}$.
| Ví dụ 2: Cho hàm số $y=frac{x+m-2}{x-m}$
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 5;+infty right)$. |
Lời giải
a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-m-m+2}{{{left( x-m right)}^{2}}}=frac{-2m+2}{{{left( x-m right)}^{2}}}$
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi $-2m+22Leftrightarrow m>1$
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $left( 5;+infty right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>1 \ {} mle 5 \end{array} right.Leftrightarrow 1<mle 5$.
| Ví dụ 3: Cho hàm số $y=frac{mx+4m}{x+m}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 5. B. 4. C. Vô số. D. 3. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{{{m}^{2}}-4m}{{{left( x+m right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định $Leftrightarrow {y}'<0text{ }left( forall xne -m right)$
$Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m<0Leftrightarrow 0<m<4xrightarrow{min mathbb{Z}}m=1,text{ }m=2,text{ }m=3$. Chọn D.
| Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{mx-16}{x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định là
A. 8. B. 7. C. 6. D. 5. |
Lời giải
TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-{{m}^{2}}+16}{{{left( x-m right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
$Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+16>0text{ }left( forall xsubset D right)Leftrightarrow -4<m<4$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -3;-2;-1;0;1;2;3 right}Rightarrow $ có 7 giá trị của tham số m. Chọn B.
| Ví dụ 5: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{mx-4}{2x-m}$ đồng biến trên các khoảng xác định là
A. 4. B. 7. C. 6. D. 5. |
Lời giải
TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{m}{2} right}$. Ta có: ${y}’=frac{-{{m}^{2}}+8}{{{left( 2x-m right)}^{2}}}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
$Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+8>0text{ }Leftrightarrow -2sqrt{2}<m<2sqrt{2}.$
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -2;-1;0;1;2 right}Rightarrow $ có 5 giá trị của tham số m. Chọn D.
| Ví dụ 6: Cho hàm số $y=frac{left( m+1 right)x+20}{x+m}$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Số phần tử của tập hợp S là:
A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. |
Lời giải
TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ -m right}$. Ta có: ${y}’=frac{mleft( m+1 right)-20}{{{left( x+m right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-20>0Leftrightarrow -5<m<4$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3 right}Rightarrow $ có 8 giá trị của tham số m. Chọn A.
| Ví dụ 7: Cho hàm số $y=frac{-mx-5m+4}{x+m}$. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. 16. B. -10. C. -15. D. 15. |
Lời giải
TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ m right}$. Ta có: ${y}’=frac{-{{m}^{2}}+5m-4}{{{left( x-m right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $Leftrightarrow {y}'<0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow -{{m}^{2}}+5m-44 \ {} m<1 \ end{array} right.$.Kết hợp 
.
Tổng các phần tử của tập hợp S bằng 
. Chọn B.
| Ví dụ 8: Số giá trị nguyên của tham số $min left[ -10;10 right]$ để hàm số $y=frac{mx+1}{mx-2}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định là:
A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. |
Lời giải
Với $m=0Rightarrow y=frac{-1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu.
Với $mne 0$. TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{2}{m} right}$. Ta có: ${y}’=frac{-3m}{{{left( mx-2 right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $Leftrightarrow {y}'<0text{ }forall xin DLeftrightarrow -3m0$.
Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.
| Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{x+m+1}{mx+2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.
A. 2. B. 3. C. 4. D. Vô số. |
Lời giải
Với $m=0Rightarrow y=frac{x+1}{2}$ (thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định).
Với $mne 0$ khi đó TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ frac{-2}{m} right}$. Ta có: ${y}’=frac{2-mleft( m+1 right)}{{{left( mx+2 right)}^{2}}}$.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $Leftrightarrow {y}’>0text{ }left( forall xin D right)Leftrightarrow -{{m}^{2}}-m+2>0Leftrightarrow -2<m<1$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -1;0 right}$. Chọn A.
| Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{x+2}{x+5m}$ đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-10 right)$?
A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 3. |
Lời giải
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-10 right)$$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {y}’=frac{5m-2}{{{left( x+5m right)}^{2}}}>0 \ {} -5mge -10 \ end{array} right.left( forall xin left( -infty ;-10 right) right)$
$Leftrightarrow frac{2}{5}<mle 2$. Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ 1;2 right}$.
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  nghịch biến trên khoảng  ?
A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.. |
Lời giải
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $left( 10;+infty right)$$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {y}’=frac{5m-6}{{{left( x+5m right)}^{2}}}<0 \ {} -5mle 10 \ end{array} right.left( forall xin left( 10;+infty right) right)$
$Leftrightarrow -2<mle frac{6}{5}$. Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -2;-1;0;1 right}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
| Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{left( m+1 right)x+12}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;0 right)$?
A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5.. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{{{m}^{2}}-m-12}{{{left( x+m right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;0 right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{m}^{2}}-m-12<0 \ {} -mnotin left( -infty ;0 right) \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -3<m<4 \ {} -mge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow -3<mle 0$. Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -2;-1;0 right}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
| Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{mx+20}{x+m-1}$ nghịch biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{{{m}^{2}}-m-20}{{{left( x+m-1 right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 0;+infty right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{m}^{2}}-m-20<0 \ {} left( 1-m right)notin left( 0;+infty right) \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -4<m<5 \ {} 1-mle 0 \ end{array} right.Leftrightarrow 1le m<5$. Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ 1;2;3;4 right}$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
| Ví dụ 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=frac{2x+7}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $left( 2;+infty right)$?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải
Ta có: ${y}’=frac{-2m-7}{{{left( x-m right)}^{2}}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 2;+infty right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} -2m-7frac{-7}{2} \ {} mle 2 \ end{array} right.Leftrightarrow frac{-7}{2}<mle 2$.
Kết hợp $min mathbb{Z}Rightarrow m=left{ -3;-2;-1;0;1;2 right}$$Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D.
| Ví dụ 15: Tính tổng tất cả các số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số $y=frac{{{m}^{2}}x+5}{2mx+1}$ nghịch biến trên khoảng $left( 3;+infty right)$?
A. 55. B. 35. C. 40. D. 45.. |
Lời giải
HD: Điều kiện: $xne -frac{1}{2m}$. Ta có: ${y}’=frac{{{m}^{2}}-10m}{{{left( 2mx+1 right)}^{2}}}$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 3;+infty right)Leftrightarrow left{ begin{array} {} {y}'<0 \ {} -frac{1}{2m}le 3 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{m}^{2}}-10m<0 \ {} frac{6m+1}{2m}ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 0<m0 \ {} mle -frac{1}{6} \ end{array} right. \ end{array} right.Leftrightarrow 0<m<10$
Mà $min mathbb{Z}Rightarrow min left{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 right}Rightarrow $Tổng các số nguyên là 45. Chọn D.