Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nào? Bài tập và cách chứng minh
Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
■ Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.
Hình bên ta có: $a//left( alpha right).$
■ Định lý 1 : Nếu một đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng $left( alpha right)$ và song song với một đường thẳng b nằm trên $left( alpha right)$ thì a song song với $left( alpha right)$.
■ Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng $left( alpha right)$. Khi đó nếu một mặt phẳng $left( beta right)$ chứa a và cắt $left( alpha right)$ theo giao tuyến b thì a song song với b.
$Rightarrow $Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( beta right)$ cùng song song với một đường thẳng b thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng song song với b.
■ Định lý 3: Với hai đường thẳng a và b chéo nhau cho trước, có duy nhất một mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa a và song song với b.
Với hai đường thẳng phân biệt a và b không song song với nhau, và một điểm O cho trước, có duy nhất một mặt phẳng $left( alpha right)$ qua O và song song với (hoặc chứa) a và b.
Phương pháp giải toán:
Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) ta sẽ chứng minh đường thẳng d không nằm trong (P) đồng thời song song với một đtrờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Bài tập trắc nghiệm chứng minh vuông góc giữa đường thẳng với mặt phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB,SC đều song song với (MNP). c) Gọi ${{G}_{1}},{{G}_{2}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh rằng: ${{G}_{1}}{{G}_{2}}//left( SAC right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Vì M, N là trung điểm của AB, CD nên $MN//AD//BC$
Ta có: $left{ begin{array} {} ADin left( SAD right) \ {} MN//AD \ {} text{MN}notin left( SAD right)text{ } \ end{array} right.Rightarrow MN//left( SAD right).$
Tương tự ta có: $left{ begin{array} {} BCin left( SBC right) \ {} MN//BC \ {} text{MN}notin left( SBC right)text{ } \ end{array} right.Rightarrow MN//left( SBC right).$
b) Vì P là trung điểm của SA nên $left{ begin{array} {} MP//SB \ {} NP//SC \ end{array} right.$
Ta có: $left{ begin{array} {} MPin left( MNP right) \ {} SB//MP \ {} text{SB}notin left( MNP right)text{ } \ end{array} right.Rightarrow SB//left( MNP right).$
Tương tự chứng minh trên ta có: $left{ begin{array} {} NPin left( MNP right) \ {} SC//NP \ {} text{SC}notin left( MNP right)text{ } \ end{array} right.Rightarrow SC//left( MNP right).$
c) Gọi I là trung điểm của BC $Rightarrow left{ begin{array} {} {{G}_{1}}in AI \ {} {{G}_{2}}in BC \ end{array} right.$ và $frac{I{{G}_{1}}}{IA}=frac{I{{G}_{2}}}{IS}=frac{1}{3}Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}//SARightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}//left( SAC right).$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của $Delta ABD$, M là một điểm trên cạnh BC sao cho $MB=2MC$. Chứng minh rằng: $MG//left( ACD right).$ |
Lời giải chi tiết
Gọi N là trung điểm của AD
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $BG=2GN$
Mà $MB=2MC$ nên $frac{BG}{GN}=frac{MB}{MB}Rightarrow MG//NC.$
Ta có: $left{ begin{array} {} NCin left( ACD right) \ {} MG//NC \ {} text{MG}notin left( ACD right)text{ } \ end{array} right.Rightarrow MG//left( ACD right).$
| Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm ${A}’$ của đường thẳng AG với mp(BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với $A{A}’$ và Mx cắt (BCD) tại ${M}’$. Chứng minh B,${M}’$, ${A}’$ thẳng hàng và $B{M}’={M}'{A}’={A}’N.$ c) Chứng minh rằng: $GA=3G{A}’.$ |
Lời giải chi tiết
a)Trong mp(ABN): Gọi ${A}’=AGcap BN$
$Rightarrow {A}’=AGcap left( BCD right).$
b) Xét trong mp(ABN): Kẻ $M{M}’//A{A}’$ cắt BN tại ${M}’Rightarrow {M}’in BN.$
Do M là trung điểm của AB nên $M{M}’$ là đường trung bình trong $Delta AB{A}’Rightarrow {M}’B={M}’A.$
Do G là trung điểm của MN mà $G{A}’//M{M}’$ nên $G{A}’$ là đường trung bình trong $Delta MN{M}’$ suy ra ${A}’$ là trung điểm của ${M}’N$ hay ${M}'{A}’=N{A}’.$
Suy ra $B{M}’={M}'{A}’={A}’N.$
c) Ta có: $left{ begin{array} {} frac{M{M}’}{{A}’A}=frac{BM}{BA}=frac{1}{2} \ {} frac{G{A}’}{M{M}’}=frac{{A}’N}{{M}’N}=frac{1}{2} \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} A{A}’=2M{M}’ \ {} M{M}’=2G{A}’ \ end{array} right.$
$Rightarrow {A}’A=2M{M}’=4G{A}’Leftrightarrow AG=3G{A}’.$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
a) Chứng minh rằng $MN//left( SBC right),text{ }MN//left( SAD right).$ b) Chứng minh rằng $SB//left( MNP right),SC//left( MNP right).$ c) Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: $IJ//left( SAB right),text{ }IJ//left( SAD right)text{ }vgrave{a}text{ }IJ//left( SAC right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $MN//AD//BC.$
Do đó $MN//left( SBC right)$ và $MN//left( SAD right).$
b) Trong tam giác SAB có M, P lần lượt là trung điểm của AB và SA nên MP là đường trung bình suy ra
$MP//SPRightarrow SP//left( MNP right).$
Dễ thấy AMCN là hình bình hành nên giao điểm O của chúng là trung điểm của AC và $MNRightarrow Oin left( MNP right).$
Trong mặt phẳng (SAC) có PO là đường trung bình của $Delta SAC$ nên $PO//SCRightarrow SC//left( MNP right).$
c) Gọi K trung điểm của BC $Rightarrow left{ begin{array} {} frac{AI}{AK}=frac{2}{3} \ {} frac{SJ}{SK}=frac{2}{3} \ end{array} right.$ (tính chất trọng tâm tam giác)
Do đó $text{IJ}//SARightarrow text{IJ}//left( SAB right),text{IJ}//left( SAD right)$ và $text{IJ}//left( SAC right)$.
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, SC, và K là điểm trên SD cho cho $SK=frac{1}{2}KD.$
a) Chứng minh rằng $OJ//left( SAC right)$ và $OJ//left( SAB right).$ b) Chứng minh rằng $OI//left( SCD right)$ và $IJ//left( SBD right).$ c) Gọi M là giao điểm của AI và BD. Chứng minh rằng $MK//left( SBC right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Do ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.
Ta có: OJ là đường trung bình trong tam giác SAC nên $OJ//SA$ suy ra $OJ//left( SAC right)$ và $OJ//left( SAB right)$.
b) OI là đường trung bình trong tam giác ABC nên $OI//ABRightarrow OI//CDRightarrow OI//left( SCD right).$
Tương tự IJ là đường trung bình trong tam giác SBC nên $IJ//SBRightarrow IJ//left( SBD right).$
c) Do $M=AIcap BO$ nên M là trọng tâm $Delta ABC$
$Rightarrow BM=frac{2}{3}BO=frac{BD}{3}$
Lại có: $SK=frac{1}{2}KDLeftrightarrow SK=frac{1}{2}SD$ hay $frac{SK}{SD}=frac{1}{3}.$
Do đó $frac{SK}{SD}=frac{BM}{BD}=frac{1}{3}Rightarrow MK//SBRightarrow MK//left( SBC right).$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Gọi M. N, P lần lượt là trung điểm của SB, SO, OD.
a) Chứng minh rằng $MN//left( ABCD right),text{ }MO//left( SCD right).$ b) Chứng minh rằng $NP//left( SAC right)$, tứ giác NPOM là hình gì? c) Gọi I là điểm thuộc SD sao cho $SD=4ID$. Chứng minh rằng $PI//left( SBC right),text{ }PI//left( SAC right).$ |
Lời giải chi tiết
a) Do M, N lần lượt là trung điểm của SB,SO.
Do đó MN là đường trung bình của tam giác SBO nên
$MN//BORightarrow MN//left( ABCD right).$
Tương tự MO là đường trung bình của tam giác SBD nên $MO//SDRightarrow MO//left( SCD right).$
b) NP là đường trung bình của tam giác SOD nên $NP//SDRightarrow NP//left( SAD right).$
Tứ giác NPOM là hình bình hành vì $MN//OP$ và $MN=OP=frac{1}{2}OB.$
c) Ta có $frac{SD}{ID}=frac{BD}{PD}=4Rightarrow IP//SBRightarrow IP//left( SBC right).$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. |
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SA, cắt SB tại P.
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi $I=MNcap AC.$
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng song song với SA, cắt SC tại Q, ta có $left( SAC right)cap left( P right)=IQ$
$left( SAB right)cap left( Q right)=MP.$
b) Thiết diện là tứ giác MNQP.
c) Thiết diện là hình thang khi $QP//MN.$
Mặt khác ba mặt phẳng (SBC); (ABCD); (MNP) cắt nhau theo 3 giao tuyến là PQ, MN và BC nên chúng song song hoặc đồng quy.
Để $QP//MNRightarrow MN//BC//PQ$. Vậy $MN//BC$ thì thiết diện là hình thang.
| Bài tập 8: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, $widehat{ABC}=60{}^circ $, $AB=a$. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho $SB=a$ và $SBbot OA$. Gọi M là một điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt $x=BMleft( 0<x<a right).$
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b*) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. |
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (SAB), từ M kẻ đường thẳng song song với SB, cắt SB tại Q.
Trong mặt (ABC), từ M kẻ đường thẳng song song với AO, cắt BC tại N.
Trong mặt phẳng (SBC), từ N kẻ đường thẳng song song với SB, cắt SC tại P.
Thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ta có: $left{ begin{array} {} MN//AO \ {} MQ//SB \ {} SBbot OAtext{ } \ end{array} right.Rightarrow MNbot MQRightarrow $ thiết diện là hình thang vuông tại M và N.
b) Áp dụng định lý Talet ta có: $BM=xRightarrow MA=a-xRightarrow frac{MQ}{SB}=frac{MQ}{a}=frac{MA}{AB}=frac{a-x}{a}Rightarrow MQ=a-x$
$BC=2aRightarrow OA=frac{1}{2}BC=aRightarrow frac{MN}{OA}=frac{MN}{a}=frac{BM}{AB}=frac{x}{a}Rightarrow MN=x$
$frac{BN}{BO}=frac{MN}{OA}Rightarrow BN=MN=xRightarrow NC=2a-xRightarrow frac{NP}{SB}=frac{NP}{a}=frac{NC}{BC}=frac{2a-x}{2a}Rightarrow NP=frac{2a-x}{2}$
${{S}_{MNPQ}}=frac{1}{2}MNleft( MQ+NP right)=frac{1}{2}x.left( a-x+frac{2a-x}{2} right)=frac{xleft( 4a-3x right)}{4}$
Do đó áp dụng bất đẳng thức $uvle {{left( frac{u+v}{2} right)}^{2}}$ ta có:
${{S}_{MNPQ}}=frac{xleft( 4a-3x right)}{4}=frac{3xleft( 4a-3x right)}{12}le frac{{{left( 3x+4a-3x right)}^{2}}}{12.4}=frac{1}{3}{{a}^{2}}.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $3x=4a-3xLeftrightarrow 6x=4aLeftrightarrow x=frac{2a}{3}.$
| Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC). b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). |
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng (SBC), từ M kẻ đường thẳng song song với SC cắt BC tại Q.
Trong mặt phẳng (SCD), từ N kẻ đường thẳng song song với SC cắt SD tại P.
Khi đó giao tuyến của (P) với (SBC) và (SCD) lần lượt là MQ và NP.
Gọi $I=ACcap NQ$. Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại H.
Khi đó $left( P right)cap left( SAC right)=IH.$
b) Thiết diện của mặt phẳng (P) với khối chóp là ngũ giác MQNPH.
| Bài tập 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD). b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P). |
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng (P) qua M và song song với CD nên giao tuyến của (P) và (ICD) cũng song song với CD.
Trong mặt phẳng (ICD), qua M kẻ đường thẳng $d//CD$ cắt IC và ID lần lượt tại R và S khi đó giao tuyến của (P) với (ICD) là RS.
b) Qua R và (S) lần lượt kẻ các đường thẳng song song với SA cắt các cạnh bên AC, BC, BD, AD lần lượt tại E, P, N, F khi đó thiết diện của tứ diện ABCD với (P) là tứ giác EFNP.