Giải bất phương trình logarit bằng Phương pháp đặt ẩn phụ – Bài tập có đáp án
Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.
Bài tập trắc nghiệm giải bất phương trình logarit có đáp án chi tiết
| Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) $2{{log }_{5}}x-{{log }_{x}}125<1$ b) $log _{frac{1}{2}}^{2}x-6{{log }_{2}}x+8le 0$ |
Lời giải
a) ĐK: $x>0;xne 1$
BPT $Leftrightarrow 2{{log }_{5}}x-frac{3}{{{log }_{5}}x}<1Leftrightarrow frac{2log_{5}^{2}x-{{log }_{5}}x-3}{{{log }_{5}}x}<0$
Đặt $t={{log }_{5}}xto frac{2{{t}^{2}}-t-3}{t}<0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t<-1 \ {} 0<t<frac{3}{2} \ end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} {{log }_{5}}x<-1 \ {} 0<{{log }_{5}}x<frac{3}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x<frac{1}{5} \ {} 1<x0$. Khi đó $log_{2}^{2}x-6{{log }_{2}}x+8le 0Leftrightarrow 2le {{log }_{2}}xle 4Leftrightarrow 4le xle 16$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=left[ 4;16 right]$
| Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a) ${{log }_{7}}sqrt{x}-frac{1}{2}{{log }_{sqrt{7}}}x>2$ b) ${{log }_{x}}2.(2+{{log }_{2}}x)>frac{1}{{{log }_{2x}}2}$ |
Lời giải
a) ĐK: $x>0$. Khi đó: BPT$Leftrightarrow {{log }_{7}}sqrt{x}-frac{1}{2}{{log }_{sqrt{7}}}x>2Leftrightarrow frac{1}{2}{{log }_{7}}x-{{log }_{7}}x>2$
$Leftrightarrow -frac{1}{2}{{log }_{7}}x>2Leftrightarrow {{log }_{7}}x<-4Leftrightarrow 0<x<{{7}^{-4}}$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $0<x0 \ {} xne 1 \ {} xne frac{1}{2} \ end{array} right.$. Khi đó: BPT $Leftrightarrow {{log }_{x}}2.left( 2+{{log }_{2}}x right)>{{log }_{2}}left( 2x right)=1+{{log }_{2}}x$
Đặt $t={{log }_{2}}x$ ta có: $frac{1}{t}.left( 2+t right)>1+tLeftrightarrow frac{2+t-tleft( 1+t right)}{t}>0Leftrightarrow frac{-{{t}^{2}}+2}{t}>0Leftrightarrow left[ begin{array} {} 0<t<sqrt{2} \ {} t<-sqrt{2} \ end{array} right.$
Với $0<t<sqrt{2}$ $Rightarrow 0<{{log }_{2}}x<sqrt{2}Leftrightarrow 1<x<{{2}^{sqrt{2}}}$
Với $t<-sqrt{2}$ $Rightarrow {{log }_{2}}x<-sqrt{2}Leftrightarrow 0<x<{{2}^{-sqrt{2}}}$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $xin left( 0;{{2}^{-sqrt{2}}} right)cup left( 1;{{2}^{sqrt{2}}} right)$
| Ví dụ 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{log }_{2}}x+2{{log }_{x}}4-3<0$là:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 |
Lời giải
ĐK: $x>0,xne 1$
BPT $Leftrightarrow $${{log }_{2}}x+frac{4}{{{log }_{2}}x}-3<0Leftrightarrow frac{log_{2}^{2}x-3{{log }_{2}}x+4}{{{log }_{2}}x}<0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{log }_{2}}x<0 \ {} 1<{{log }_{2}}x<3 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x<1 \ {} 2<x<8 \ end{array} right.$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=left( 0;1 right)cup left( 2;8 right)$
Kết hợp $xin mathbb{Z}$ $Rightarrow $ BPT có 5 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp số nguyên x thuộc khoảng $left( 0;10 right)$ và thỏa mãn bất phương trình $log_{2}^{2}x-7{{log }_{2}}3.lo{{g}_{3}}x+6ge 0$. Tổng các phần tử tập hợp S là:
A. T=3 B. T=33 C. T=44 D. T=54 |
Lời giải
ĐK: $x>0$. BPT $Leftrightarrow log_{2}^{2}x-7{{log }_{2}}x+6ge 0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{log }_{2}}xge 6 \ {} {{log }_{2}}xle 1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} xge 64 \ {} 0<xle 2 \ end{array} right.$
Kết hợp $left{ begin{array} {} xin mathbb{Z} \ {} x<10 \ end{array} right.Rightarrow x=left{ 1;2 right}Rightarrow T=3$. Chọn A.
| Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp số nguyên x thỏa mãn $log_{3}^{2}x-2{{log }_{3}}left( 3x right)-1le 0$. Tổng các phần tử của tập hợp S là:
A. T=351 B. T=27 C. T=378 D. T=26 |
Lời giải
Điều kiện: $x>0$. BPT$Leftrightarrow log_{3}^{2}x-2left( {{log }_{3}}x+1 right)-1le 0$
$Leftrightarrow log_{3}^{2}x-2{{log }_{3}}x-3le 0Leftrightarrow -1le {{log }_{3}}xle 3Leftrightarrow frac{1}{3}le xle 27$
Kết hợp $xin mathbb{Z}$ $Rightarrow $ $x=left{ 1;2;3;4…27 right}Rightarrow T=1+2+…+27=frac{28.27}{2}=378$(cấp số cộng có $left{ begin{array} {} {{u}_{1}}=1 \ {} d=1 \ end{array} right.$)
Chọn C.
| Ví dụ 6: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $sqrt{{{log }_{9}}left( 3{{x}^{2}}+4x+2 right)}+1>{{log }_{3}}left( 3{{x}^{2}}+4x+2 right)$ là:
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 |
Lời giải
Ta có BPT $Leftrightarrow sqrt{frac{1}{2}{{log }_{3}}left( 3{{x}^{2}}+4x+2 right)}+1>{{log }_{3}}left( 3{{x}^{2}}+4x+2 right)$
Đặt $t=sqrt{frac{1}{2}{{log }_{3}}left( 3{{x}^{2}}+4x+2 right)}left( tge 0 right)$ ta có: $t+1>2{{t}^{2}}Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-1<0Leftrightarrow frac{-1}{2}<t<1$
Do đó $0le {{log }_{3}}left( 3{{x}^{2}}+4x+2 right)<2Leftrightarrow left{ begin{array} {} 3{{x}^{2}}+4x+2ge 1 \ {} 3{{x}^{2}}+4x+2<9 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 3{{x}^{2}}+4x+1ge 0 \ {} 3{{x}^{2}}+4x-7<0 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} left[ begin{array} {} xge -frac{1}{3} \ {} xle -1 \ end{array} right. \ {} -frac{7}{3}<x<1 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} -frac{1}{3}le x<1 \ {} -frac{7}{3}<xle -1 \ end{array} right.$
Vậy nghiệm của BPT là $xin left[ -frac{1}{3};1 right)cup left( -frac{7}{3};-1 right]$
Kết hợp $xin mathbb{Z}$$Rightarrow x=left{ 0;1;-2;-1 right}$ BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn C.
| Ví dụ 7: Số nghiệm nguyên của bất ${{log }_{4}}{{left( x-1 right)}^{2}}+3sqrt{2{{log }_{4}}left( x-1 right)}-4le 0$ là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số |
Lời giải
Điều kiện: $left{ begin{array} {} x-1>0 \ {} {{log }_{4}}left( x-1 right)ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow xge 2$
BPT $Leftrightarrow 2{{log }_{4}}left( x-1 right)+3sqrt{2{{log }_{4}}left( x-1 right)}-4le 0$. Đặt $t=2{{log }_{4}}left( x-1 right),left( tge 0 right)$ ta có:
${{t}^{2}}+3t-4le 0Leftrightarrow -4le tle 1Rightarrow 0le tle 1Rightarrow 0le {{log }_{4}}left( x-1 right)le frac{1}{2}Leftrightarrow 2le xle 3$
Kết hợp $xin mathbb{Z}$ $Rightarrow x=left{ 2;3 right}$ BPT có 2 nghiệm nguyên. Chọn A.
| Ví dụ 8: Tập nghiệm của bất phương trình $frac{log_{2}^{2}x+3}{{{log }_{2}}x+3}>2$ là:
A. $left( 8;+infty right)$ B. $left( 0;frac{1}{2} right)cup left( 8;+infty right)$ C. $left( frac{1}{8};frac{1}{2} right)cup left( 8;+infty right)$ D. $left( 0;1 right)cup left( 8;+infty right)$ |
Lời giải
ĐK: $left{ begin{array} {} x>0 \ {} xne frac{-1}{8} \ end{array} right.$. Đặt $t={{log }_{2}}x$ta có: $frac{{{t}^{2}}+3}{t+3}>2Leftrightarrow frac{{{t}^{2}}-2t-3}{t+3}>0Leftrightarrow left[ begin{array} {} t>3 \ {} -3<t3$ $Leftrightarrow {{log }_{2}}x>3Leftrightarrow x>8$
+) Với $-3<t<-1$ ta có: $-3<{{log }_{2}}x<-1Leftrightarrow frac{1}{8}<x<frac{1}{2}$
Vậy tập nghiệm của BPT là: $S=left( frac{1}{8};frac{1}{2} right)cup left( 8;+infty right)$. Chọn C.