Nguyên hàm của hàm hữu tỷ – các công thức giải nhanh bài tập tìm nguyên hàm
I. Các công thức cần nhớ
(1). $int{frac{1}{x+a}dx=ln left| x+a right|+C}to int{frac{dx}{ax+b}=frac{1}{a}ln left| ax+b right|+C}$
(2). $int{frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=frac{1}{2a}ln left| frac{x-a}{x+a} right|+C}$
(3). $int{frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx=frac{1}{a}arctan frac{x}{a}+Cto int{frac{1}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}du=frac{1}{a}arctan frac{u}{a}+C}}$
II. Nguyên hàm dạng $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{Qleft( x right)}}$
Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có:
$frac{Pleft( x right)}{Qleft( x right)}=gleft( x right)+frac{P’left( x right)}{Qleft( x right)}.$ Dưới đây là một số dạng thường gặp.
@ Dạng 1: $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{ax+b}}$
Phân tích: $frac{Pleft( x right)}{ax+b}=gleft( x right)+frac{k}{ax+b}$ khi đó $I=int{gleft( x right)dx+kint{frac{dx}{ax+b}}}$
@ Dạng 2: $I=int{frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx}$
þ Trường hợp 1: $Delta ={{b}^{2}}-4ac>0$
Phân tích: $frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{mx+m}{aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)}=frac{1}{a}left( frac{A}{x-{{x}_{1}}}+frac{B}{x-{{x}_{2}}} right)$
(Đồng nhất hệ số để tìm A, B).
$Rightarrow I=frac{1}{a}left( Aln left| x-{{x}_{1}} right|+Bln left| x-{{x}_{2}} right| right)+C.$
þ Trường hợp 2: $Delta ={{b}^{2}}-4ac=0$
$frac{mx+n}{a.{{x}^{2}}+bx+c}=frac{mx+n}{a{{left( x-{{x}_{0}} right)}^{2}}}=frac{mleft( x-{{x}_{0}} right)+p}{a{{left( x-{{x}_{0}} right)}^{2}}}=frac{m}{aleft( x-{{x}_{0}} right)}+frac{P}{a{{left( x-{{x}_{0}} right)}^{2}}}$
þ Trường hợp 3: $Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$
Phân tích: $frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{kleft( 2ax+b right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+frac{p}{a{{left( x-{{x}_{0}} right)}^{2}}+q}$
Khi đó $I=int{frac{kdleft( a{{x}^{2}}+bx+c right)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+frac{p}{a}int{frac{1}{{{left( x-{{x}_{0}} right)}^{2}}+{{n}^{2}}}dx}}$
@ Dạng 3: $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{Qleft( x right)}}$ với $Qleft( x right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$
þ Trường hợp 1: $text{a}{{text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( x-{{x}_{2}} right)left( x-{{x}_{3}} right)$
Phân tích: $frac{Pleft( x right)}{a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=frac{A}{x-{{x}_{1}}}+frac{B}{x-x{{ {} }_{2}}}+frac{C}{x-x{{ {} }_{3}}}$
þTrường hợp 2: $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=aleft( x-{{x}_{1}} right){{left( x-{{x}_{2}} right)}^{2}}$
Phân tích: $frac{Pleft( x right)}{text{a}{{text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=frac{A}{x-{{x}_{1}}}+frac{Bx+C}{{{left( x-{{x}_{2}} right)}^{2}}}$
þ Trường hợp 3: $text{a}{{text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=aleft( x-{{x}_{1}} right)left( m{{x}^{2}}+nx+p right)$ trong đó $m{{x}^{2}}+nx+p=0$ vô nghiệm.
Phân tích: $frac{Pleft( x right)}{text{a}{{text{x}}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}=frac{A}{x-{{x}_{1}}}+frac{Bx+C}{m{{x}^{2}}+nx+p}$
@ Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{{{x}^{4}}pm {{a}^{2}}}}$ trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4.
þTrường hợp 1: $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}$
Phân tích: $frac{Pleft( x right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=frac{Aleft( {{x}^{2}}+a right)+Bleft( {{x}^{2}}-a right)+C{{text{x}}^{3}}+Dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}$
Khi đó ta có: ${{I}_{1}}=int{frac{{{x}^{2}}+a}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}dx=int{frac{1+frac{a}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}dx=int{frac{dleft( x-frac{a}{x} right)}{{{left( x-frac{a}{x} right)}^{2}}+2a}to {{I}_{1}}=int{frac{du}{{{u}^{2}}+2a}}}}$
${{I}_{2}}=int{frac{{{x}^{2}}-a}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}dx=int{frac{1-frac{a}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+frac{{{a}^{2}}}{{{x}^{2}}}}dx=int{frac{dleft( x+frac{a}{x} right)}{{{left( x+frac{a}{x} right)}^{2}}-2a}}to {{I}_{2}}=int{frac{du}{{{u}^{2}}-2a}}}}$
${{I}_{3}}=int{frac{{{x}^{3}}dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=frac{1}{4}}int{frac{dleft( {{x}^{4}}+{{a}^{2}} right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=frac{1}{4}ln left| {{x}^{4}}+{{a}^{2}} right|+C}$
${{I}_{4}}=int{frac{xdx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}=frac{1}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}} right)}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}to {{I}_{4}}=frac{1}{2}int{frac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}.}}}$
Từ đó suy ra nguyên hàm $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{{{x}^{4}}+{{a}^{2}}}}$
þ Trường hợp 2: $I=int{frac{Pleft( x right)dx}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}}$
Phân tích:$frac{Pleft( x right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}=frac{A{{x}^{3}}+Bx+left( C{{x}^{2}}+D right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}$
Khi đó xét: ${{I}_{1}}=int{frac{A{{x}^{3}}+Bx}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}}dx=frac{A}{4}int{frac{dleft( {{x}^{4}}-{{a}^{2}} right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}+frac{B}{2}int{frac{dleft( {{x}^{2}} right)}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}to {{I}_{1}}=frac{A}{4}int{frac{du}{u}+frac{B}{2}int{frac{dv}{{{v}^{2}}-{{a}^{2}}}}}}}$
Phân tích ${{I}_{2}}=int{frac{C{{x}^{2}}+D}{{{x}^{4}}-{{a}^{2}}}dx=int{left( frac{M}{{{x}^{2}}-a}+frac{N}{{{x}^{2}}+a} right)dx}}$ (Đồng nhất tìm M, N).
@ Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6.
- ${{I}_{1}}=int{frac{dx}{{{x}^{6}}-1}=int{frac{dx}{left( {{x}^{3}}-1 right)left( {{x}^{3}}+1 right)}=frac{1}{2}int{left( frac{1}{{{x}^{3}}-1}-frac{1}{{{x}^{3}}+1} right)}}}$
- ${{I}_{2}}=int{frac{xdx}{{{x}^{6}}-1}=frac{1}{2}int{frac{d{{x}^{2}}}{{{left( {{x}^{2}} right)}^{3}}-1}to {{I}_{2}}=frac{1}{2}int{frac{du}{{{u}^{3}}-1}}}}$
- ${{I}_{3}}=int{frac{{{x}^{2}}dx}{{{x}^{6}}-1}=frac{1}{3}int{frac{dleft( {{x}^{3}} right)}{{{x}^{6}}-1}to {{I}_{3}}=frac{1}{3}int{frac{du}{{{u}^{2}}-1}}}}$
- ${{I}_{4}}=int{frac{{{x}^{3}}dx}{{{x}^{6}}-1}=frac{1}{2}int{frac{{{x}^{2}}dleft( {{x}^{2}} right)}{{{x}^{6}}-1}to {{I}_{4}}=frac{1}{2}int{frac{udu}{{{u}^{3}}-1}}}}$
- ${{I}_{5}}=int{frac{{{x}^{4}}dx}{{{x}^{6}}-1}=int{frac{left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 right)+left( {{x}^{2}}-1 right)-2}{left( {{x}^{2}}-1 right)left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 right)}dx=int{frac{dx}{{{x}^{2}}-1}-int{frac{dx}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}-2int{frac{dx}{{{x}^{6}}-1}}}}}}$
Với $K=int{frac{dx}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=frac{1}{2}int{frac{left( {{x}^{2}}+1 right)-left( {{x}^{2}}-1 right)}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx=frac{1}{2}int{frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx-frac{1}{2}int{frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}dx}}}}$
$=frac{1}{2}int{frac{1+frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+1+frac{1}{{{x}^{2}}}}dx-frac{1}{2}int{frac{1-frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+1+frac{1}{{{x}^{2}}}}dx=frac{1}{2}int{frac{dleft( x-frac{1}{x} right)}{{{left( x-frac{1}{x} right)}^{2}}+3}-frac{1}{2}int{frac{dleft( x+frac{1}{x} right)}{left( x+frac{1}{x} right)-1}}}}}$
$to K=frac{1}{2}int{frac{du}{{{u}^{2}}+3}-frac{1}{2}int{frac{dv}{{{v}^{2}}-1}}}$