Xét các số thực dương (x,y) thỏa mãn sau ({log _{sqrt 3 }}frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = xleft( {x – 3} right) + yleft( {y

Điều kiện : (frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} > 0.)

(begin{array}{l}{log _{sqrt 3 }}frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = xleft( {x – 3} right) + yleft( {y – 3} right) + xy\ Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}left( {x + y} right) – {log _{sqrt 3 }}left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) = {x^2} + {y^2} + xy – 3left( {x + y} right)\ Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}left( {x + y} right) + 3left( {x + y} right) = {log _{sqrt 3 }}left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) + {x^2} + {y^2} + xy\ Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}left( {x + y} right) + 3left( {x + y} right) + 2 = {log _{sqrt 3 }}left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) + left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right)\ Leftrightarrow {log _{sqrt 3 }}left[ {3left( {x + y} right)} right] + 3left( {x + y} right) = {log _{sqrt 3 }}left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2end{array})

Xét hàm số (fleft( t right) = {log _{sqrt 3 }}t + t,,,t > 0) có (f’left( t right) = frac{1}{{tln sqrt 3 }} + 1 > 0,,,forall t > 0)

Vậy hàm số (fleft( t right)) luôn đồng biến và liên tục trên khoảng (left( {0; + infty } right))

Do đó: (fleft( {3left( {x + y} right)} right) = fleft( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} right) Leftrightarrow 3left( {x + y} right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2,,,,,left( 1 right))    

        ( Leftrightarrow xy = {left( {x + y} right)^2} – 3left( {x + y} right) + 2)

Ta có: (x = x + xy – xy = xleft( {y + 1} right) – xy le {left( {frac{{x + y + 1}}{2}} right)^2} – xy)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x = y + 1).

Do đó từ (left( 1 right)), suy ra: (x le frac{{{{left( {x + y + 1} right)}^2}}}{4} – {left( {x + y} right)^2} + 3left( {x + y} right) – 2).

Đặt (t = x + y,,,t > 0)

Suy ra: (P = frac{{2left( {x + y} right) + 1 + x}}{{x + y + 6}} le frac{{2t + 1 + frac{{{{left( {t + 1} right)}^2}}}{4} – {t^2} + 3t – 2}}{{t + 6}} = frac{{ – 3{t^2} + 22t – 3}}{{4left( {t + 6} right)}} = fleft( t right)).

Ta có: (f’left( t right) = frac{{ – 3{t^2} – 36t + 135}}{{4{{left( {t + 6} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow t = 3) ™

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta có (max P = mathop {max }limits_{left( {0; + infty } right)} fleft( t right) = fleft( 3 right) = 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = y + 1\x + y = 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 2\y = 1end{array} right..)

Chọn A.