1.1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).
.PNG)
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t được tính bởi công thức sau
\[{v_{tt}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) – s\left( {{t_0}} \right)}}{{t – {t_0}}}.\]
b) Cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).
Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ to đến t được tính bởi công thức sau
\[{I_{tt}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) – Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t – {t_0}}}\]
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,… đưa đến việc tìm giới hạn dạng
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\]
ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.
1.2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
|
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \(x_0\in\) (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu bởi f'(x0) (hoặc y'(x0)), tức là \[f'(x_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}.\] |
Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \(x_0\in\) (a; b), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính f(x)−f(x0).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\) với \(x\in\) (a; b) và \(x\ne x_0\).
3. Tìm giới hạn làm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\).
1.3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu y’ = f'(x).
Chú ý: Nếu phương trình chuyển động của vật là s =f(t) thì v(t) = f'(t) là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.
1.4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm P( xo; f ( xo )) là đường thẳng đi qua P với hệ số góc k =\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\) nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k = f'(xo).
Điểm P gọi là tiếp điểm.
Nhận xét: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm P(xo; f(xo)) là đạo hàm f'(xo).
b) Phương trình tiếp tuyến
|
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(xo,yo) là y – yo = f’ (xo)( x − xo ), trong đó yo = f(xo) |
Câu 1:
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)
b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x – 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)
\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = – 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( – 1 + \Delta x) – f( – 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} – \Delta x\)
Vậy: \(f'( – 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} – \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x – 1} \right) = – 1.\)
b) \(f(x)=sinx\)
\(\Delta x = x – \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)
\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) – f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)
\(f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x – 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) – 1} – \sqrt {2x – 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) – 1} – \sqrt {2x – 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) – 1} – \sqrt {2x – 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x – 1} }}. \end{array}\)
Câu 2:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:
i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)
ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{{x^3} – 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} ({x^2} – 4x + 4) = 9. \end{array}\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) – 2 = 9x + 7.\)
b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} – 2(x + \Delta x) + 3} \right] – \left[ {{x^2} – 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x – 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x – 2} \right) = 2x – 2.\)
i) Đường thẳng \(4x – 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k’=2.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.
Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x – 2) + 3 \Rightarrow y = 2x – 1.\)
ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = – \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k’=-\frac{1}{4}.\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k’ = – 1 \Rightarrow k = 4.\)
Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x – 3) + 6 \Rightarrow y = 4x – 6.\)