Khảo sát chiều biến thiên của hàm số $y=fleft( x right)$ dựa vào bảng xét dấu ${y}’$.
Phương pháp giải bài tìm khoảng đồng biến ngịch biến của hàm số
■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm ${y}’={f}’left( x right)$.
■ Bước 2. Tìm các điểm tại đó ${f}’left( x right)=0$ hoặc${f}’left( x right)$ không xác định.
■ Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của ${y}’$.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho ${y}’$.
■ Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của ${y}’$.
Bài tập tìm khoảng đồng biến nghịch biến có đáp án
| Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ b) $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=mathbb{R}$
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-6xLeftrightarrow left{ begin{array} {} x=0 \ {} x=2 \ end{array} right.$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;0 right)$ và $left( 2;+infty right)$, nghịch biến trên khoảng $left( 0;2 right)$.
b) TXĐ: $D=mathbb{R}$
Ta có: ${y}’=4{{x}^{3}}-4xLeftrightarrow left{ begin{array} {} x=0 \ {} x=pm 1 \ end{array} right.$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -1;0 right)$ và $left( 1;+infty right)$, nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-1 right)$ và $left( 0;1 right)$
| Bài tập 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=-{{x}^{3}}+3x-2$ b) $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2$ |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=mathbb{R}$
Ta có: ${y}’=-3{{x}^{2}}+3=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=-1 \ {} x=1 \ end{array} right.$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -1;1 right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-1 right)$ và $left( 1;+infty right)$.
b) TXĐ: $D=mathbb{R}$
Ta có: ${y}’=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}left( x-3 right)$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( 3;+infty right)$, nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;3 right)$.
| Bài tập 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=frac{x+3}{x-1}$. b) $y=frac{3x+1}{x+1}$. |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$
Ta có: ${y}’=frac{-4}{{{left( x-1 right)}^{2}}}
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;1 right)$ và $left( 1;+infty right)$.
b) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ -1 right}$
Ta có: ${y}’=frac{2}{{{left( x+1 right)}^{2}}}>0text{ }left( forall xin D right)$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;-1 right)$ và $left( -1;+infty right)$.
| Bài tập 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=x+frac{4}{x}$. b) $y=frac{{{x}^{2}}-x+9}{x-1}$. |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 0 right}$. Ta có: ${y}’=1-frac{4}{{{x}^{2}}}=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=2 \ {} x=-2 \ end{array} right.$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;-2 right)$ và $left( 2;+infty right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -2;0 right)$ và $left( 0;2 right)$.
b) TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$
Ta có: ${y}’=frac{left( 2x-1 right)left( x-1 right)-left( {{x}^{2}}-x+9 right)}{{{left( x-1 right)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}-2x-8}{{{left( x-1 right)}^{2}}}=0text{ }Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=-2 \ {} x=4 \ end{array} right.$.
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;-2 right)$ và $left( 4;+infty right)$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $left( -2;1 right)$ và $left( 1;4 right)$.
| Bài tập 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=sqrt{16-{{x}^{2}}}$ b) $y=sqrt{6x-{{x}^{2}}}$ |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=left[ -4;4 right]$. Ta có: ${y}’=frac{-2x}{2sqrt{16-{{x}^{2}}}}=0Leftrightarrow x=0$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( -4;0 right)$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 0;4 right)$.
b) TXĐ: $D=left[ 0;6 right]$
Ta có: ${y}’=frac{6-2x}{2sqrt{6x-{{x}^{2}}}}=0text{ }Leftrightarrow x=3$.
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;3 right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 3;6 right)$.
| Bài tập 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=sqrt{{{x}^{2}}-4x}$ b) $y=sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}$ |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=left( -infty ;0 right]cup left[ 4;+infty right)$. Ta có: ${y}’=frac{2x-4}{2sqrt{{{x}^{2}}-4x}}=0Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( 4;+infty right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;0 right)$.
b) TXĐ: $D=left( -infty ;2 right]cup left[ 6;+infty right)$
Ta có: ${y}’=frac{2x-8}{2sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}}=0text{ }Leftrightarrow x=4$.
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( 6;+infty right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;2 right)$.
| Bài tập 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=x+1-2sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}$ b) $y=2x+1-sqrt{2{{x}^{2}}-8}$ |
Lời giải chi tiết
a) TXĐ: $D=mathbb{R}$
Ta có: ${y}’=1-frac{2left( 2x+3 right)}{2sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=frac{sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-left( 2x+3 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=0Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=2x+3$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2x+3ge 0 \ {} {{x}^{2}}+2x+3=4{{x}^{2}}+12x+9 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2xge -3 \ {} left[ begin{array} {} x=-1 \ {} x=-2 \ end{array} right. \ end{array} right.Leftrightarrow x=-1$
Bảng biến thiên (xét dấu 
):
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( -1;+infty right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-1 right)$.
b) TXĐ: $D=left( -infty ;-2 right]cup left[ 2;+infty right)$
Ta có: ${y}’=2-frac{4x}{2sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=frac{2sqrt{2{{x}^{2}}-8}-2x}{sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=0Leftrightarrow sqrt{2{{x}^{2}}-8}=2xLeftrightarrow left{ begin{array} {} xge 0 \ {} 2{{x}^{2}}-8=4{{x}^{2}} \ end{array} right.$ (vô nghiệm).
Bảng biến thiên (xét dấu ):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;-2 right)$ và $left( 2;+infty right)$.
| Bài tập 8: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) $y=fleft( x right)$ biết ${f}’left( x right)=x{{left( x-1 right)}^{2}}{{left( x+3 right)}^{3}},text{ }forall xin mathbb{R}$. b) $y=gleft( x right)$ biết ${g}’left( x right)=left( {{x}^{2}}-1 right)left( x-2 right){{left( x+3 right)}^{2018}},text{ }forall xin mathbb{R}$. |
Lời giải chi tiết
a) Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;-3 right)$ và $left( 0;+infty right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -3;0 right)$.
b) Ta có: ${g}’left( x right)=left( {{x}^{2}}-1 right)left( x-2 right){{left( x+3 right)}^{2018}}={{left( x+3 right)}^{2018}}left( x+2 right)left( x+1 right)left( x-1 right)$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -2;-1 right)$ và $left( 1;+infty right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng$left( -infty ;-2 right)$ và $left( -1;1 right)$.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có bảng xét dấu đạo hàm sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( -2;0 right)$. B. Hàm số đồng biến trên khoảng $left( -infty ;0 right)$. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 0;2 right)$. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-2 right)$. |
Lời giải chi tiết
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $left( -2;0 right)$; $left( 0;2 right)$.
Và đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;-2 right)$ và $left( 2;+infty right)$. Chọn C.
| Bài tập 10: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số $y=frac{-{{x}^{2}}+2x-1}{x+2}$.
A. $left( -5;-2 right)$ và $left( -2;1 right)$ B. $left( -5;-2 right)$ và $left( 1;+infty right)$ C. $left( -infty ;-2 right)$ và $left( -2;1 right)$ D. $left( -infty ;-2 right)$ và $left( 1;+infty right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=frac{left( -2x+2 right)left( x+2 right)-left( -{{x}^{2}}+2x-1 right)}{{{left( x+2 right)}^{2}}}=frac{-{{x}^{2}}-4x+5}{{{left( x+2 right)}^{2}}}=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=1 \ {} x=-5 \ end{array} right.$.
Bảng biến thiên (xét dấu ):
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $left( -5;-2 right)$ và $left( -2;1 right)$. Chọn A.
| Bài tập 11: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số $y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+24x+1$.
A. $left( -4;2 right)$ B. $left( -4;0 right)$ và $left( 2;+infty right)$ C. $left( -infty ;-4 right)$ và $left( 0;2 right)$ D. $left( -infty ;-4 right)$ và $left( 2;+infty right)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}’=-3{{x}^{2}}-6x+24=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=-4 \ {} x=2 \ end{array} right.$.
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;-4 right)$ và $left( 2;+infty right)$. Chọn D.
| Bài tập 12: Hàm số $y=sqrt{{{x}^{2}}-2x}$
A. Đồng biến trên $left( 2;+infty right)$ và nghịch biến trên $left( -infty ;0 right)$. B. Đồng biến trên $left( -infty ;0 right)$ và nghịch biến trên $left( 2;+infty right)$. C. Đồng biến trên $left( 1;+infty right)$ và nghịch biến trên $left( -infty ;1 right)$. D. Đồng biến trên $left( 1;2 right)$ và nghịch biến trên $left( 0;1 right)$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=left( -infty ;0 right]cup left[ 2;+infty right)$. Ta có: ${y}’=frac{2x-2}{2sqrt{{{x}^{2}}-2x}}=0Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên (xét dấu ${y}’$):
Do vậy hàm số đồng biến trên $left( 2;+infty right)$ và nghịch biến trên $left( -infty ;0 right)$. Chọn A.
| Bài tập 13: Hàm số $y=xsqrt{1-{{x}^{2}}}$
A. Đồng biến trên các khoảng $left( -1;frac{sqrt{2}}{2} right)$ và $left( frac{sqrt{2}}{2};1 right)$ và nghịch biến trên $left( frac{-sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right)$. B. Đồng biến trên $left( frac{-sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -1;frac{sqrt{2}}{2} right)$ và $left( frac{sqrt{2}}{2};1 right)$. C. Đồng biến trên $left( frac{-sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;-frac{sqrt{2}}{2} right)$ và $left( frac{sqrt{2}}{2};+infty right)$. D. Đồng biến trên $left( frac{-sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;-1 right)$ và $left( 1;+infty right)$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=left[ -1;1 right]$.
Ta có: ${y}’=sqrt{1-{{x}^{2}}}-frac{{{x}^{2}}}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}=frac{1-2{{x}^{2}}}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}$.
Lập bảng xét dấu ${y}’$:
Do đó hàm số đồng biến trên $left( frac{-sqrt{2}}{2};frac{sqrt{2}}{2} right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -1;frac{sqrt{2}}{2} right)$ và $left( frac{sqrt{2}}{2};1 right)$.
Chọn B.
| Bài tập 14: Hàm số $y=frac{x-2}{{{x}^{2}}+x+1}$ đồng biến trên:
A. $mathbb{R}$. B. $left( -infty ;2-sqrt{7} right)$ và $left( 2+sqrt{7};+infty right)$ C. $left( 2-sqrt{7};2+sqrt{7} right)$ D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $mathbb{R}$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=mathbb{R}$.
Ta có: ${y}’=frac{-{{x}^{2}}+4x+3}{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}}>0Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-3Chọn C.
| Bài tập 15: Cho hàm số $y=frac{2x-1}{{{left( x-1 right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho:
A. Đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;0 right)$ và $left( 1;+infty right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( 0;1 right)$. B. Đồng biến trên khoảng $left( 0;1 right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;0 right)$ và $left( 1;+infty right)$. C. Đồng biến trên khoảng $left( -infty ;0 right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( 1;+infty right)$. D. Đồng biến trên khoảng $left( 1;+infty right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;0 right)$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}$.
Ta có: ${y}’=frac{2{{left( x-1 right)}^{2}}-2left( x-1 right)left( 2x-1 right)}{{{left( x-1 right)}^{4}}}=frac{2left( x-1 right)-2left( 2x-1 right)}{{{left( x-1 right)}^{3}}}=frac{-2x}{{{left( x-1 right)}^{3}}}$.
Lập bảng xét dấu của${y}’$:
Do vậy hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;1 right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;0 right)$ và $left( 1;+infty right)$. Chọn B.
| Bài tập 16: Cho hàm số $y=frac{3x-2}{{{left( x-2 right)}^{2}}}$. Hàm số đã cho:
A. Đồng biến trên các khoảng $left( -infty ;frac{-2}{3} right)$ và $left( 2;+infty right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( frac{-2}{3};2 right)$. B. Đồng biến trên khoảng $left( frac{-2}{3};2 right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;-frac{2}{3} right)$ và $left( 2;+infty right)$. C. Đồng biến trên khoảng $left( -infty ;-frac{2}{3} right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( 2;+infty right)$. D. Đồng biến trên khoảng $left( 2;+infty right)$ và nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;frac{-2}{3} right)$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=mathbb{R}backslash left{ 2 right}$.
Ta có: ${y}’=frac{3{{left( x-2 right)}^{2}}-2left( x-2 right)left( 3x-2 right)}{{{left( x-2 right)}^{4}}}=frac{3left( x-2 right)-2left( 3x-2 right)}{{{left( x-2 right)}^{3}}}=frac{-3x-2}{{{left( x-2 right)}^{3}}}$.
Lập bảng xét dấu ${y}’$:
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $left( frac{-2}{3};2 right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( -infty ;-frac{2}{3} right)$ và $left( 2;+infty right)$.
Chọn B.
| Bài tập 17: Cho hàm số $y=xsqrt{3-x}$ nghịch biến trên khoảng:
A. $left( -infty ;3 right)$. B. $left( -infty ;2 right)$. C. $left( 2;3 right)$. D. $left( 2;+infty right)$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=left( -infty ;3 right]$.
Ta có: ${y}’=sqrt{3-x}+x.frac{-1}{2sqrt{3-x}}=frac{6-2x-x}{2sqrt{3-x}}=frac{6-3x}{2sqrt{3-x}}=0Leftrightarrow x=2$.
Lập bảng xét dấu ${y}’$:
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $left( 2;3 right)$. Chọn C.