Xét tính đơn điệu của hàm số – phương pháp và lý thuyết
Định nghĩa về đồng biến nghịch biến:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $v=fleft( x right)$ xác định trên K.
■ Hàm số $y=fleft( x right)$ đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp ${{x}_{1}};text{ }{{x}_{2}}$ thuộc K mà thì $fleft( {{x}_{1}} right)
■ Hàm số $y=fleft( x right)$ nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp ${{x}_{1}};text{ }{{x}_{2}}$ thuộc K mà ${{x}_{1}}fleft( {{x}_{2}} right)$ tức là ${{x}_{1}}fleft( {{x}_{2}} right)$.
Bài tập minh họa có đáp án
| Ví dụ 1: Xét hàm số $y=fleft( x right)=2x+1$ |
Xét ${{x}_{1}}
| Ví dụ 2: Hàm số $y=fleft( x right)=-7x+2$ nghịch biến trên $mathbb{R}$, vì: Giả sử ${{x}_{1}}0Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)$ suy ra hàm số $y=fleft( x right)=-7x+2$ là một hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$. |
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: $forall {{x}_{1}};text{ }{{x}_{2}}in K$ và ${{x}_{1}}ne text{ }{{x}_{2}}$, thì hàm số
$fleft( x right)$ đồng biến trên K $Leftrightarrow frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$
$fleft( x right)$ nghịch biến trên K $Leftrightarrow frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
Định lý về tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm trên K.
- a) Nếu ${f}’left( x right)>0$ với mọi x thuộc K thì hàm số $fleft( x right)$ đồng biến trên K.
- b) Nếu ${f}’left( x right)x thuộc K thì hàm số $fleft( x right)$ nghịch biến trên K.
Tóm lại xét trên K $K:{f}’left( x right)>0Rightarrow fleft( x right)$ đồng biến; ${f}’left( x right)
Chú ý: Nếu ${f}’left( x right)=0text{ }left( forall xin K right)$ thì hàm số $y=fleft( x right)$là hàm số không đổi trên K.
ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG
| Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$ có đạo hàm trên K. Nếu ${f}’left( x right)ge 0left( {f}’left( x right)le 0 right),text{ }forall xin K$ và ${f}’left( x right)=0$chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. |
Ví dụ: Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+10$ thì ${y}’=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{left( x-1 right)}^{2}}ge 0$, dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm $x=1$ do đó hàm số đã cho đồng biến trên $mathbb{R}$.