Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF.

Câu hỏi:

Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Trả lời:

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.* Trong $∆$ADG , ta có:$\angle$(GAD) = ${45}^0$; $\angle$(GDA) = ${45}^0$ (gt)Suy ra: $\angle$(AGD) = ${180}^0$ – $\angle$(GAD) – $\angle$(GDA) = ${90}^0$⇒ $∆$GAD vuông cân tại G.⇒ GD = GATrong $∆$BHC, ta có:$\angle$(HBC) = ${45}^0$; $\angle$(HCB) = ${45}^0$ (gt)Suy ra: $\angle$(BHC) = ${180}^0$ – $\angle$(HBC) – $\angle$(HCB) = ${90}^0$⇒ $∆$HBC vuông cân tại H.⇒ HB = HC* Trong ΔFDC, ta có: $\angle$$D_1$ = ${45}^0$; $\angle$$C_1$= ${45}^0$ (gt)Suy ra: $\angle$F = ${180}^0$ – D1 – C1 = ${90}^0$⇒ $∆$FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FCNên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).Xét $∆$GAD và $∆$HBC,ta có: $\angle$(GAD) = $\angle$(HBC) = ${45}^0$AD = BC (tính chất hình chữ nhật)$\angle$(GDA) = $\angle$(HCB) = ${45}^0$Suy ra: $∆$GAD = $∆$HBC ( g.c.g)Do đó, GD = HC .Lại có: FD = FC (chứng minh trên)Suy ra: FG = FHVậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====