Có bao nhiêu số nguyên a, sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên (b in(-12; 12)) thỏa mãn (4^{a^2+b} leq 3^{b-a}+65)?

Ta có (4^{a^2+b} leq 3^{b-a}+65 Leftrightarrow 4^{a^2+b}-3^{b-a}-65 leq 0).

(Leftrightarrow 4^{a^2}-dfrac{3^{b-a}}{4^b}-dfrac{65}{4^b} leq 0 Leftrightarrow-left(dfrac{3}{4}right)^b cdot dfrac{1}{3^a}-65 cdotleft(dfrac{1}{4}right)^b+4^{a^2} leq 0) Xét hàm số (f(b)=-left(dfrac{3}{4}right)^b cdot dfrac{1}{3^a}-65 cdotleft(dfrac{1}{4}right)^b+4^{a^2}, b in(-12; 12)).

Suy ra (Rightarrow f'(b)=-ln left(dfrac{3}{4}right) cdotleft(dfrac{3}{4}right)^b cdot dfrac{1}{3^a}-65 ln left(dfrac{1}{4}right) cdotleft(dfrac{1}{4}right)^b>0). Do đó (f(b)) đồng biến.

Để (f(b) leq 0) có it nhất 4 giá trị nguyên thỏa mãn thì (f(-8) leq 0 Leftrightarrow 4^{a^2-8} leq 3^{-a-8}+65) (Rightarrow 4^{a^2-5} leq 65 Rightarrow a^2-8 leq log _4 65). Do (a in mathbb{Z} Rightarrow a in{-3;-2; ldots 3}). Có 7 giá trị nguyên của (a).