Câu hỏi:
Giá trị lớn nhất của hàm số (y = left| {frac{{ln x + 1}}{{sqrt {{{ln }^2}x + 1} }} + m} right|) trên (left[ {1;{e^2}} right]) đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
A. (frac{{1 + sqrt 2 }}{2})
B. (frac{{sqrt 2 – 1}}{4})
C. (frac{{1 + sqrt 2 }}{4})
D. (frac{{sqrt 2 – 1}}{2})
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt (t = ln x;x in left[ {1;{e^2}} right] = > t in left[ {0;2} right])
Ta có (mathop {max }limits_{left[ {1;{e^2}} right]} y = mathop {max }limits_{left[ {0;2} right]} left| {frac{{t + 1}}{{sqrt {{t^2} + 1} }} + m} right|). Ta xét (fleft( t right) = frac{{t + 1}}{{sqrt {{t^2} + 1} }} + m Rightarrow f’left( t right) = frac{{1 – t}}{{{{left( {sqrt {{t^2} + 1} } right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow t = 1)
Mặt khác (fleft( 0 right) = 1 + m;fleft( 1 right) = sqrt 2 + m;fleft( 2 right) = frac{{3sqrt 5 }}{5} + m). Vậy (mathop {max }limits_{left[ {1;{e^2}} right]} y = max left{ {left| {m + 1} right|;left| {m + sqrt 2 } right|} right} = M)
Vì (left{ begin{array}{l}M ge left| {m + 1} right|\M ge left| { – sqrt 2 – m} right|end{array} right. Rightarrow 2M ge sqrt 2 – 1).
Do đó (min M = frac{{sqrt 2 – 1}}{2}) khi (m + 1 = – sqrt 2 – m = pm left( {frac{{sqrt 2 – 1}}{2}} right)) khi (m = – frac{{1 + sqrt 2 }}{2})
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số