Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho trước
Một số bài tập tìm GTLN – GTNN của hàm số chưa tham số m có đáp án
| Bài tập 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+4x-m$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10.
A. $m=3.$ B. $m=-6.$ C. $m=-7.$ D. $m=-8.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'(x)=-2x+4$
Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} -1le xle 3 \ {} -2x+4=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=2$
Tính $f(-1)=-5-m;f(2)=4-m;f(3)=3-m$
Suy ra $underset{text{ }!![!!text{ }-1;3]}{mathop{max }},f(x)=f(2)=4-m=10Rightarrow m=-6$
| Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số $f(x)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0.
A. $a=2.$ B. $a=6.$ C. $a=0.$ D. $a=4.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số $f(x)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'(x)=-3{{x}^{2}}-6x$
Phương trình$f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} -1le xle 1 \ {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \ end{array} right.Rightarrow x=0$
Tính $f(-1)=-2+a;f(0)=a;f(1)=-4+a$
Suy ra $underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{min }},f(x)=f(1)=-4+a=0Rightarrow a=4.$
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-({{m}^{2}}+m+1)x$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng – 6. Tính tổng các phần tử của S.
A. 0. B. 4. C. – 4. D. $2sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Ta có $f'(x)=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;forall xin mathbb{R}.$ Mà $Delta ‘=-2{{m}^{2}}-3m-3<0;forall min mathbb{R}$
Suy ra $y'<0;forall xin text{ }!![!!text{ }-1;1].$ Do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-1;1)Rightarrow underset{text{ }!![!!text{ }-1;1]}{mathop{min }},y=y(1)=-6$
Lại có $y(1)=-2-{{m}^{2}}to -2-{{m}^{2}}=-6Leftrightarrow {{m}^{2}}=4Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=2 \ {} m=-2 \ end{array} right..$ Vậy $sum{m=0.}$
| Bài tập 4: Biết hàm số $y={{left( x+m right)}^{3}}+{{left( x+n right)}^{3}}-{{x}^{3}}$ với m, n là tham số đồng biến trên khoảng $(-infty ;+infty )$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4({{m}^{2}}+{{n}^{2}})-m-n$ bằng
A. 4. B. $frac{1}{4}.$ C. – 16. D. $-frac{1}{16}.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Ta có $y’=3{{(x+m)}^{2}}+3{{(x+n)}^{2}}-3{{x}^{2}}=3left[ {{x}^{2}}+2(m+n)x+{{m}^{2}}+{{n}^{2}} right]$
Hàm số đã cho đồng biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow y’ge 0;forall xin mathbb{R}Leftrightarrow Delta ‘={{(m+n)}^{2}}-{{m}^{2}}-{{n}^{2}}le 0Leftrightarrow mnle 0$
Lại có $P=4left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} right)-left( m+n right)=4{{left( m+n right)}^{2}}-8mn-left( m+n right)ge 4{{left( m+n right)}^{2}}-left( m+n right)$
$=4{{(m+n)}^{2}}-2.2(m+n).frac{1}{4}+frac{1}{16}-frac{1}{16}={{left[ 2(m+n)-frac{1}{4} right]}^{2}}-frac{1}{16}ge -frac{1}{16}Rightarrow {{P}_{min }}=-frac{1}{16}$
| Bài tập 5: Cho hàm số $f(x)=frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}$ với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng – 2.
A. $m=-4.$ B. $m=5.$ C. $m=4.$ D. $m=1.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số $f(x)=frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}$ trên [0;3], có $f'(x)=frac{8+{{m}^{2}}}{{{(x+8)}^{2}}}>0;forall xin text{ }!![!!text{ }0;3]$
Suy ra $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $(0;3)to underset{text{ }!![!!text{ }0;3]}{mathop{min }},f(x)=f(0)=-frac{{{m}^{2}}}{8}$
Theo bài ta, ta có $underset{text{ }!![!!text{ }0;3]}{mathop{min }},f(x)=-2Leftrightarrow -frac{{{m}^{2}}}{8}=-2Leftrightarrow {{m}^{2}}=16Rightarrow {{m}_{max }}=4$
| Bài tập 6: Cho hàm số $y=frac{x+m}{x+1}$ (với m là tham số thực) thỏa mãn $underset{text{ }!![!!text{ 1;2 }!!]!!text{ }}{mathop{min }},y+underset{text{ }!![!!text{ 1;2 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},y=frac{16}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $0<mle 2.$ B. $2<mle 4.$ C. $mle 0.$ D. $m>4.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số $y=frac{x+m}{x+1}$ trên [1;2], có $f'(x)=frac{1-m}{{{(x+1)}^{2}}};forall xin text{ }!![!!text{ }1;2]$
Do đó $underset{text{ }!![!!text{ 1;2 }!!]!!text{ }}{mathop{min }},y+underset{text{ }!![!!text{ 1;2 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},y=f(1)+f(2)=frac{1+m}{2}+frac{2+m}{3}=frac{16}{3}Rightarrow m=5$
| Bài tập 7: Cho hàm số $f(x)=frac{x-m}{x+2}$ (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn
[-10;10] thỏa mãn $underset{text{ }!![!!text{ 0;1 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},yge 2underset{text{ }!![!!text{ 0;1 }!!]!!text{ }}{mathop{min }},y$ ? A. 5. B. 11. C. 16. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f(x)=frac{x-m}{x+2}$ trên [0;1]. Có $f'(x)=frac{m+2}{{{(x+2)}^{2}}};forall xin text{ }!![!!text{ }0;1]$
- TH1. Với $m>-2$ suy ra $f'(x)>0Rightarrow f(x)$ là hàm số đồng biến trên $(0;1)$
Do đó $underset{text{ }!![!!text{ }0;1]}{mathop{max }},f(x)=f(1)=frac{1-m}{3};underset{text{ }!![!!text{ }0;1]}{mathop{min }},f(x)=f(0)=-frac{m}{2}$
Theo bài ra, ta có $frac{1-m}{3}ge 2left( -frac{m}{2} right)Leftrightarrow 1-mge -3mLeftrightarrow mge -frac{1}{2}$
Kết hợp với $min text{ }!![!!text{ }-10;10]$ và $min mathbb{Z}Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m
- TH2. Với $m<-2$ suy ra $f'(x)<0Rightarrow f(x)$ là hàm số nghịch biến trên $(0;1)$
Do đó $underset{text{ }!![!!text{ }0;1]}{mathop{max }},f(x)=f(0)=-frac{m}{2};underset{text{ }!![!!text{ }0;1]}{mathop{min }},f(x)=f(1)=frac{1-m}{3}$
Theo bài ra, ta có $-frac{m}{2}ge 2.left( frac{1-m}{3} right)Leftrightarrow -3mge 4-4mLeftrightarrow mge 4$ (vô lý)
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.
| Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=frac{{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-2}{x-m}$ trên đoạn [0;4] bằng – 1.
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Ta có $f'(x)=frac{1.(-m)-1.(-{{m}^{2}}-2)}{{{(x-m)}^{2}}}=frac{{{m}^{2}}-m+2}{{{(x-m)}^{2}}}>0;forall xne m$
Với $x=mnotin text{ }!![!!text{ }0;4]Leftrightarrow left[ begin{array} {} m>4 \ {} m4 \ {} m<0 \ end{array} right.to m=-3$ là giá trị cần tìm.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+cx+d,ane 0$ có $underset{(-infty ;0)}{mathop{min }},f(x)=f(-2)$. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn [1;3] bằng
A. $8a+d.$ B. $d-16a.$ C. $d-11a.$ D. $2a+d.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Ta có $underset{(-infty ;0)}{mathop{min }},f(x)=f(-2)xrightarrow{{}}underset{xto -infty }{mathop{lim }},f(x)=+infty Rightarrow a<0$
Lại có $f'(x)=3a{{x}^{2}}+c$ mà $underset{(-infty ;0)}{mathop{min }},f(x)=f(-2)Rightarrow f'(-2)=0Leftrightarrow 12a+c=0$
Do đó $f(x)=a{{x}^{3}}+cx+d=a{{x}^{3}}-12ax+d$
Xét hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}-12ax+d$ trên [1;3], có $f'(x)=3a{{x}^{2}}-12a;$
Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1le xle 3 \ {} 3a{{x}^{2}}-12a=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1le xle 3 \ {} {{x}^{2}}-4=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=2$
Tính $f(1)=d-11a;f(2)=d-16a;f(3)=d-9a.$ Vậy $underset{text{ }!![!!text{ }1;3]}{mathop{max }},f(x)=d-16a.$
| Bài tập 10: Cho hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c,ane 0$ có $underset{(-infty ;0)}{mathop{min }},f(x)=f(-1)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $left[ frac{1}{2};2 right]$ bằng
A. $8a+c.$ B. $c-frac{7a}{16}.$ C. $c+frac{9a}{16}.$ D. $c-a.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Ta có $underset{(-infty ;0)}{mathop{min }},f(x)=f(-1)xrightarrow{{}}underset{xto -infty }{mathop{lim }},f(x)=+infty Rightarrow a>0$
Lại có $f'(x)=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $underset{(-infty ;0)}{mathop{min }},f(x)=f(-1)Rightarrow f'(-1)=0Leftrightarrow b=-2a$
Do đó $f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$
Xét hàm số $f(x)=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $left[ frac{1}{2};2 right]$ có $f'(x)=4a{{x}^{3}}-4ax$
Phương trình $f'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} frac{1}{2}le xle 2 \ {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} frac{1}{2}le xle 2 \ {} x({{x}^{2}}-1)=0 \ end{array} right.Leftrightarrow x=1$
Tính $fleft( frac{1}{2} right)=c-frac{7a}{16};f(1)=c-a;f(2)=8a+2.$ Vậy $underset{left[ frac{1}{2};2 right]}{mathop{min }},f(x)=f(1)=c-a.$
| Bài tập 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m right|$ trên đoạn [0;2] bằng 5?
A. $(-infty ;-5)cup (0;+infty ).$ B. $(-5;-2).$ C. $(-4;-1)cup (5;+infty ).$ D. $(-4;-3).$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4x;f'(x)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=pm 1 \ end{array} right.$
Tính $left| f(0) right|=left| m right|;left| f(1) right|=left| m-1 right|;left| f(2) right|=left| m+8 right|$ suy ra $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y=left{ left| m-1 right|;left| m+8 right| right}$
- TH1. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y=left| m-1 right|xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} left| m-1 right|=5 \ {} left| m-1 right|ge left| m+8 right| \ end{array} right.Leftrightarrow m=-4$
- TH2. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y=left| m+8 right|xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} left| m+8 right|=5 \ {} left| m+8 right|ge left| m-1 right| \ end{array} right.Leftrightarrow m=-3$
Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $(-5;-2).$
| Bài tập 12: Cho hàm số $f(x)=left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m right|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để $underset{text{ }!![!!text{ -1;3 }!!]!!text{ }}{mathop{min }},f(x)le 3$ ?
A. 4. B. 8. C. 13. D. 39. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số $g(x)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'(x)=6{{x}^{2}}-6x;g'(x)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=1 \ end{array} right.$
Tính $left{ begin{array} {} f(-1)=left| m-5 right|;f(0)=left| m right| \ {} f(1)=left| m-1 right|;f(3)=left| m+27 right| \ end{array} right.$. Khi đó $underset{text{ }!![!!text{ }-1;3]}{mathop{min }},f(x)=left{ left| m-5 right|;left| m+27 right| right}$
- TH1. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }-1;3]}{mathop{min }},f(x)=left| m-5 right|Leftrightarrow left| m-5 right|le 3Leftrightarrow -3le m-5le 3Leftrightarrow 2le mle 8$
Kết hợp $min mathbb{Z}xrightarrow{{}}m=left{ 2;3;4;…;8 right}$. Thử lại $Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.
- TH2. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }-1;3]}{mathop{min }},f(x)=left| m+27 right|Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| m+27 right|le left{ left| m-5 right|;left| m right|;left| m-1 right| right} \ {} left| m+27 right|le 3 \ end{array} right.Leftrightarrow -30le mle -24$
Kết hợp $min mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm.
Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
| Bài tập 13: Cho hàm số $y=left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m right|$ (với m là tham số thực). Hỏi $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y$ có giá trị nhỏ nhất là?
A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'(x)=3{{x}^{2}}-6x;f'(x)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=2 \ end{array} right.$
Tính $left| f(0) right|=left| m right|;left| f(1) right|=left| m-2 right|;left| f(2) right|=left| m-4 right|$ suy ra $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y=left{ left| m right|;left| m-4 right| right}$
- TH1. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y=left| m right|xrightarrow{{}}left| m right|ge left| m-4 right|Leftrightarrow mge 2xrightarrow{{}}left| m right|ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$
- TH2. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y=left| m-4 right|xrightarrow{{}}left| m-4 right|le left| m right|Leftrightarrow mle 2xrightarrow{{}}m-4le -2Leftrightarrow left| m-4 right|ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $underset{text{ }!![!!text{ }1;2]}{mathop{max }},y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.
| Bài tập 14: Có bao nhiêu số thực m để hàm số $y=left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m right|$ có giá trị lớn nhất trên [-3;2] bằng 150?
A. 2. B. 0. C. 6. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số $g(x)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'(x)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$
Phương trình $g'(x)=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} -3le xle 2 \ {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-1 \ {} x=0 \ end{array} right.$
Tính $left{ begin{array} {} f(-1)=left| m-5 right|;f(0)=left| m right| \ {} f(-3)=left| m+243 right|;f(2)=left| m-32 right| \ end{array} right..$ Khi đó $underset{text{ }!![!!text{ }-3;2]}{mathop{max }},f(x)=left{ left| m-32 right|;left| m+243 right| right}$
- TH1. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }-3;2]}{mathop{max }},f(x)=left| m+243 right|Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| m-32 right|le left| m+243 right| \ {} left| m+243 right|=150 \ end{array} right.Leftrightarrow m=-93$
- TH2. Nếu $underset{text{ }!![!!text{ }-3;2]}{mathop{max }},f(x)=left| m-32 right|Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| m-32 right|ge left| m+243 right| \ {} left| m-32 right|=150 \ end{array} right.Leftrightarrow m=-118$
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.
| Bài tập 15: Cho hàm số $f(x)=left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a right|$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên $ain text{ }!![!!text{ }-3;3]$ sao cho $Mle 2m$
A. 6. B. 5. C. 7. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $u(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$
Phương trình $u'(x)=0Leftrightarrow xleft{ 0;1;2 right}.$ Khi đó $u(0)=u(2)=a;u(1)=a+1$
Suy ra $underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{max }},f(x)=left{ left| a right|;left| a+1 right| right}$ và $underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{min }},f(x)=left{ left| a right|;left| a+1 right| right}$
- TH1. Với $a=0$, ta thấy $left{ begin{array} {} underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{min }},f(x)=0 \ {} underset{text{ }!![!!text{ 0;2 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},f(x)=1 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} M=1 \ {} m=0 \ end{array} right.$ (không TMĐK)
- TH2. Với $a>0,$ ta có $left{ begin{array} {} underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{min }},f(x)=left| a right| \ {} underset{text{ }!![!!text{ 0;2 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},f(x)=left| a+1 right| \ end{array} right.$ mà $Mle 2mRightarrow left| a+1 right|le 2left| a right|Leftrightarrow age 1$
Kết hợp với điều kiện $ain text{ }!![!!text{ -3;3 }!!]!!text{ }$ và $ain mathbb{Z}xrightarrow{{}}left{ 1;2;3 right}$
- TH3. Với $a<0$, ta có $left{ begin{array} {} underset{text{ }!![!!text{ }0;2]}{mathop{min }},f(x)=left| a+1 right| \ {} underset{text{ }!![!!text{ 0;2 }!!]!!text{ }}{mathop{max }},f(x)=left| a right| \ end{array} right.$ mà $Mle 2mRightarrow left| a right|le 2left| a+1 right|Leftrightarrow age -2$
Kết hợp $ain text{ }!![!!text{ -3;3 }!!]!!text{ }$ và $ain mathbb{Z}xrightarrow{{}}left{ -3;-2 right}$
Vậy có 5 giá trị nguyên của a.
| Bài tập 16*: Cho hàm số $f(x)=left| {{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c right|$. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;3]. Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị của biểu thức $ab+bc+ca$
A. – 6. B. 0. C. – 12. D. – 18. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Đặt $t=frac{x-1}{2}in [-1;1]Rightarrow t=cos xRightarrow x=2cos x+1$
Khi đó $f(x)=left| {{(2cos x+1)}^{3}}+a.{{(2cos x+1)}^{2}}+b.(2cos x+1)+c right|$
$,,,,,,,,,=left| 8{{cos }^{3}}x+(12+4a).{{cos }^{2}}x+(6+4a+2b).cos x+a+b+c+1 right|$
Suy ra $frac{f(x)}{2}=left| 4{{cos }^{3}}x+(6+2a).{{cos }^{2}}x+(3+2a+b).cos x+frac{a+b+c+1}{2} right|$
$Leftrightarrow frac{f(x)}{2}le left| 4{{cos }^{3}}x-3cos x right|=left| cos 3x right|le 1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{array} {} 6+2a=0 \ {} 3+2a+b=-3 \ {} a+b+c+1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-3 \ {} b=0 \ {} c=2 \ end{array} right.$